Номер 1142, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1142, страница 286.

Условие.

1142 ■ Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

1. Определение вида трапеции и ее параметров

В условии сказано, что около трапеции можно описать окружность. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Следовательно, ее боковые стороны равны. Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, основания равны $BC = 4$ см и $AD = 14$ см. Одна из боковых сторон, например $AB$, равна 13 см. Так как трапеция равнобедренная, то вторая боковая сторона $CD$ также равна 13 см.

2. Нахождение высоты трапеции

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$: $BH^2 = AB^2 - AH^2$ $BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $BH = \sqrt{144} = 12$ см. Высота трапеции $h = 12$ см.

3. Нахождение длины диагонали трапеции

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $BH = 12$ см. Катет $HD$ можно найти как $HD = AD - AH = 14 - 5 = 9$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BD$, которая является диагональю трапеции: $BD^2 = BH^2 + HD^2$ $BD^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$ $BD = \sqrt{225} = 15$ см.

4. Нахождение радиуса описанной окружности

Описанная около трапеции $ABCD$ окружность является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, для треугольника $ABD$. Радиус $R$ описанной окружности для треугольника $ABD$ со сторонами $AB=13$, $AD=14$, $BD=15$ и высотой $BH=12$ (проведенной к стороне $AD$) можно найти по формуле: $R = \frac{AB \cdot BD}{2 \cdot BH}$ Подставим известные значения: $R = \frac{13 \cdot 15}{2 \cdot 12} = \frac{195}{24} = \frac{65}{8} = 8,125$ см. (Также можно использовать общую формулу $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника $ABD$. $S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$ см². Тогда $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$ см.)

5. Нахождение длины описанной окружности

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$. $L = 2 \cdot \pi \cdot \frac{65}{8} = \frac{65\pi}{4} = 16,25\pi$ см.

Ответ: $16,25\pi$ см.