Номер 1148, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1148, страница 292.

Условие.

1148 Докажите, что при осевой симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;

б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Пусть $l$ – ось симметрии, а прямая $a$ параллельна прямой $l$ ($a \parallel l$).

Рассмотрим два случая.

1. Если прямая $a$ совпадает с осью $l$, то каждая точка прямой $a$ при симметрии отображается на себя. Следовательно, прямая $a$ отображается на себя. Так как прямая параллельна самой себе ($a \parallel a$), то в этом случае утверждение доказано.

2. Если прямая $a$ не совпадает с осью $l$, то расстояние между этими параллельными прямыми постоянно. Обозначим это расстояние как $d > 0$.
Возьмем произвольную точку $A$ на прямой $a$. По определению осевой симметрии, ее образ $A'$ – это точка, для которой прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что отрезок $AA'$ перпендикулярен оси $l$ ($AA' \perp l$), и расстояние от $A$ до $l$ равно расстоянию от $A'$ до $l$.
Поскольку расстояние от точки $A$ на прямой $a$ до оси $l$ равно $d$, то и расстояние от ее образа $A'$ до оси $l$ также равно $d$. При этом точка $A'$ лежит по другую сторону от оси $l$, чем точка $A$.
Так как это рассуждение верно для любой точки на прямой $a$, все точки-образы лежат на расстоянии $d$ от оси $l$ с одной и той же стороны. Множество всех таких точек образует прямую $a'$, параллельную оси $l$.
Таким образом, прямая $a$ отображается на прямую $a'$, параллельную оси симметрии $l$. Утверждение доказано.
Ответ: Прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии.

б) Пусть $l$ – ось симметрии, а прямая $b$ перпендикулярна оси $l$ ($b \perp l$).

1. Докажем, что образ любой точки на прямой $b$ лежит на прямой $b$.
Пусть $A$ – произвольная точка на прямой $b$. Пусть $A'$ – ее образ при симметрии относительно оси $l$. По определению осевой симметрии, прямая, содержащая отрезок $AA'$, перпендикулярна оси $l$.
Через точку $A$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $l$. По условию, такой прямой является $b$. Следовательно, прямая, содержащая отрезок $AA'$, совпадает с прямой $b$. Это означает, что точка $A'$ лежит на прямой $b$.
Таким образом, образ прямой $b$ (обозначим его $b'$) является подмножеством прямой $b$ ($b' \subseteq b$).

2. Докажем, что любая точка на прямой $b$ является образом некоторой точки с этой же прямой.
Пусть $C$ – произвольная точка на прямой $b$. Нам нужно найти такую точку $D$ на прямой $b$, что ее образом при симметрии является точка $C$.
Осевая симметрия является обратной самой себе. Это значит, что если $C$ – образ $D$, то $D$ – образ $C$. Найдем образ точки $C$, назовем его $D$. По доказанному в пункте 1, так как $C$ лежит на $b$, ее образ $D$ также лежит на $b$. При симметрии точки $D$ относительно оси $l$ мы получим точку $C$.
Следовательно, для любой точки $C$ на прямой $b$ нашлась точка $D$ на той же прямой $b$, которая отображается в $C$. Это означает, что $b \subseteq b'$.

Из того, что $b' \subseteq b$ и $b \subseteq b'$, следует, что $b' = b$. То есть прямая $b$ отображается на себя.
Ответ: Прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.