Номер 1153, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1153, страница 293.

Условие.

1153 Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению, окружность является геометрическим местом точек $X$ на плоскости, для которых расстояние до центра $O$ равно радиусу $R$, то есть $OX = R$.

Рассмотрим произвольное движение (изометрию) $f$. Пусть это движение отображает центр окружности $O$ в точку $O'$, а произвольную точку $X$, принадлежащую окружности $\omega$, — в точку $X'$. Таким образом, $O' = f(O)$ и $X' = f(X)$.

По определению, движение (изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$ выполняется равенство $A'B' = AB$.

Применим это свойство к точкам $O$ и $X$. Расстояние между их образами, точками $O'$ и $X'$, будет равно расстоянию между исходными точками $O$ и $X$: $$O'X' = OX$$

Так как точка $X$ лежит на исходной окружности $\omega$, то по определению окружности $OX = R$. Следовательно, для любой точки $X'$, являющейся образом точки $X$ с исходной окружности, выполняется равенство: $$O'X' = R$$

Это означает, что образ $\omega'$ окружности $\omega$ состоит из всех точек $X'$, которые равноудалены от точки $O'$ на расстояние $R$.

По определению, такое множество точек является окружностью с центром в точке $O'$ и радиусом $R$. Таким образом, мы доказали, что образом исходной окружности является окружность с тем же радиусом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. При движении окружность отображается на окружность того же радиуса, так как движение сохраняет расстояния. Центр исходной окружности $O$ переходит в новую точку $O'$, а все точки $X$ на окружности, находящиеся на расстоянии $R$ от $O$, переходят в точки $X'$, которые также находятся на расстоянии $R$ от $O'$, образуя новую окружность с тем же радиусом.