Номер 1160, страница 294 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1160, страница 294.

Условие.

1160 □ Даны точка $O$ и прямая $b$. Постройте прямую, на которую отображается прямая $b$ при центральной симметрии с центром $O$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Центральная симметрия с центром в точке $O$ – это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ отображается в такую точку $A'$, что $O$ является серединой отрезка $AA'$. Для построения прямой, на которую отображается данная прямая $b$, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Точка O лежит на прямой b ($O \in b$)

Если центр симметрии $O$ принадлежит прямой $b$, то любая точка $A$, лежащая на прямой $b$, отобразится в точку $A'$, которая также будет лежать на прямой $b$. Это следует из того, что точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, должна лежать на прямой $AO$. Поскольку точки $A$ и $O$ лежат на прямой $b$, то и вся прямая $AO$ совпадает с прямой $b$. Таким образом, точка $A'$ также принадлежит прямой $b$. Так как это верно для любой точки прямой $b$, вся прямая отображается на саму себя.

Ответ: Если точка $O$ лежит на прямой $b$, то прямая $b$ при центральной симметрии с центром $O$ отображается на саму себя.

Случай 2: Точка O не лежит на прямой b ($O \notin b$)

Если центр симметрии $O$ не принадлежит прямой $b$, то для построения образа прямой (обозначим его $b'$) достаточно построить образы двух любых различных точек прямой $b$. Через полученные две точки-образа и будет проходить искомая прямая $b'$.

Построение:

1. На прямой $b$ выбираем две произвольные различные точки $A$ и $B$.
2. Строим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно центра $O$. Для этого проводим луч $AO$ и на его продолжении за точку $O$ откладываем отрезок $OA'$, равный отрезку $OA$.
3. Аналогично строим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно центра $O$. Проводим луч $BO$ и на его продолжении откладываем отрезок $OB'$, равный отрезку $OB$.
4. Проводим прямую через точки $A'$ и $B'$. Эта прямая $b'$ является искомым образом прямой $b$.

При таком преобразовании прямая отображается на параллельную ей прямую. Докажем это. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. По построению $OA = OA'$ и $OB = OB'$. Углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB'$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle AOB = \triangle A'OB'$ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что $\angle OAB = \angle OA'B'$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ (прямая $b$) и $A'B'$ (прямая $b'$) и секущей $AA'$. Равенство этих углов доказывает, что $b \parallel b'$.

Ответ: Если точка $O$ не лежит на прямой $b$, то для построения ее образа $b'$ нужно взять на прямой $b$ две произвольные точки $A$ и $B$, построить их симметричные образы $A'$ и $B'$ относительно точки $O$ и провести через них прямую. Построенная прямая $b'$ будет параллельна исходной прямой $b$.