Номер 1158, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1158, страница 293.

Условие.

1158 Даны две прямые $a$ и $b$. Постройте прямую, на которую отображается прямая $b$ при осевой симметрии с осью $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Осевая симметрия является движением (сохраняет расстояния), а образом прямой при движении является прямая. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Следовательно, чтобы построить прямую $b'$, симметричную прямой $b$ относительно оси $a$, достаточно построить две точки, симметричные двум произвольным точкам прямой $b$, и провести через них прямую.

Общий алгоритм построения:

1. Выбрать на прямой $b$ две произвольные различные точки, назовем их $P_1$ и $P_2$.
2. Построить точку $P_1'$, симметричную точке $P_1$ относительно прямой $a$. Для этого:
   • провести через $P_1$ прямую, перпендикулярную прямой $a$, и отметить точку их пересечения $H_1$;
   • на этой перпендикулярной прямой отложить от точки $H_1$ отрезок $H_1P_1'$ в полуплоскость, не содержащую $P_1$, так, чтобы $H_1P_1' = P_1H_1$.
3. Аналогично построить точку $P_2'$, симметричную точке $P_2$ относительно прямой $a$.
   • провести через $P_2$ прямую, перпендикулярную $a$, и отметить точку их пересечения $H_2$;
   • на этой перпендикулярной прямой отложить от точки $H_2$ отрезок $H_2P_2'$ в полуплоскость, не содержащую $P_2$, так, чтобы $H_2P_2' = P_2H_2$.
4. Провести прямую через точки $P_1'$ и $P_2'$. Эта прямая и будет искомой прямой $b'$, симметричной прямой $b$ относительно оси $a$.

Этот алгоритм является универсальным и применим для любого взаимного расположения прямых $a$ и $b$. Рассмотрим, как он работает в частных случаях.

Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$, то эту точку можно выбрать в качестве одной из точек для построения ($P_1=O$). Так как точка $O$ лежит на оси симметрии $a$, она отображается сама в себя ($P_1' = O$). Тогда для построения искомой прямой $b'$ достаточно выбрать на прямой $b$ еще одну любую точку $P_2$, построить ее симметричный образ $P_2'$ и провести прямую через точки $O$ и $P_2'$.

Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то построенная по общему алгоритму прямая $b'$ также будет параллельна прямым $a$ и $b$. Расстояние от прямой $b'$ до $a$ будет таким же, как и расстояние от прямой $b$ до $a$.

Если прямые $a$ и $b$ совпадают, то любая точка на прямой $b$ лежит и на оси $a$. Симметричным образом любой точки на оси является сама эта точка. Следовательно, точки $P_1'$ и $P_2'$ совпадут с $P_1$ и $P_2$ соответственно, и построенная прямая $b'$ совпадет с исходной прямой $b$ (и $a$).

Ответ: Для построения искомой прямой необходимо выбрать на прямой $b$ две произвольные точки, построить их образы при симметрии относительно прямой $a$ (построив перпендикуляры к оси $a$ и отложив равные расстояния) и провести через полученные образы прямую.