Номер 1152, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1152, страница 293.

Условие.

1152 Докажите, что при движении:

а) параллелограмм отображается на параллелограмм;

б) трапеция отображается на трапецию;

в) ромб отображается на ромб;

г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данных утверждений воспользуемся основными свойствами движения (изометрии). Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Из этого определения следуют ключевые свойства:

- Движение отображает отрезок на отрезок, равный ему по длине.

- Движение отображает угол на угол, равный ему по величине.

- Движение отображает прямую на прямую.

- Движение сохраняет параллельность прямых: если две прямые параллельны, то их образы при движении также параллельны.

Используя эти свойства, докажем каждое из утверждений.

а)

По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Пусть $ABCD$ — произвольный параллелограмм, тогда $AB \parallel DC$ и $BC \parallel AD$.

При движении вершины $A, B, C, D$ перейдут в некоторые точки $A', B', C', D'$, образуя четырехугольник $A'B'C'D'$. Поскольку движение сохраняет параллельность прямых, то образы параллельных прямых $AB$ и $DC$ (прямые $A'B'$ и $D'C'$) также будут параллельны. Аналогично, образы параллельных прямых $BC$ и $AD$ (прямые $B'C'$ и $A'D'$) будут параллельны.

Таким образом, в полученном четырехугольнике $A'B'C'D'$ противолежащие стороны попарно параллельны: $A'B' \parallel D'C'$ и $B'C' \parallel A'D'$. Следовательно, четырехугольник $A'B'C'D'$ является параллелограммом по определению.

Ответ: При движении параллелограмм отображается на параллелограмм, что и требовалось доказать.

б)

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны (основания), а две другие — не параллельны (боковые стороны). Пусть $ABCD$ — трапеция, у которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны.

При движении трапеция $ABCD$ отобразится на четырехугольник $A'B'C'D'$. Так как движение сохраняет параллельность, то образы оснований $AD$ и $BC$ будут параллельны: $A'D' \parallel B'C'$.

Поскольку боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны, их образы $A'B'$ и $C'D'$ также не будут параллельны (так как движение отображает непараллельные прямые в непараллельные).

В результате четырехугольник $A'B'C'D'$ имеет одну пару параллельных сторон и одну пару непараллельных сторон, что соответствует определению трапеции.

Ответ: При движении трапеция отображается на трапецию, что и требовалось доказать.

в)

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть $ABCD$ — ромб. Это означает, что $ABCD$ — параллелограмм и $AB = BC = CD = DA$.

При движении ромб $ABCD$ отобразится на четырехугольник $A'B'C'D'$. Из пункта а) мы знаем, что образ параллелограмма при движении есть параллелограмм, значит, $A'B'C'D'$ — параллелограмм.

Движение сохраняет расстояния, поэтому длины сторон образа будут равны длинам сторон исходной фигуры: $A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'D' = CD$, $D'A' = DA$.

Поскольку в ромбе $ABCD$ все стороны равны, то и в его образе $A'B'C'D'$ все стороны будут равны между собой: $A'B' = B'C' = C'D' = D'A'$.

Таким образом, $A'B'C'D'$ — это параллелограмм с равными сторонами, то есть ромб.

Ответ: При движении ромб отображается на ромб, что и требовалось доказать.

г)

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Пусть $ABCD$ — прямоугольник, тогда $ABCD$ — параллелограмм и $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

При движении прямоугольник $ABCD$ отобразится на четырехугольник $A'B'C'D'$. Из пункта а) следует, что $A'B'C'D'$ — параллелограмм.

Движение сохраняет величину углов, поэтому углы четырехугольника $A'B'C'D'$ будут равны соответствующим углам прямоугольника $ABCD$: $\angle A' = \angle A = 90^\circ$, $\angle B' = \angle B = 90^\circ$ и так далее. Значит, все углы четырехугольника $A'B'C'D'$ — прямые.

Таким образом, $A'B'C'D'$ — это параллелограмм с прямыми углами, то есть прямоугольник.

Теперь рассмотрим квадрат. Квадрат — это фигура, которая является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны). Пусть $ABCD$ — квадрат.

При движении квадрат $ABCD$ отобразится на четырехугольник $A'B'C'D'$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его образ $A'B'C'D'$ будет прямоугольником (что доказано выше). Поскольку $ABCD$ — ромб, его образ $A'B'C'D'$ будет ромбом (что доказано в пункте в)).

Следовательно, четырехугольник $A'B'C'D'$ является и прямоугольником, и ромбом. Это означает, что у него все углы прямые и все стороны равны, то есть $A'B'C'D'$ — квадрат.

Ответ: При движении прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат, что и требовалось доказать.