Номер 1145, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1145, страница 286.

Условие.

1145* ■ Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов.

$S_{нового} = S_1 + S_2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два круга с радиусами $r_1$ и $r_2$. Их площади равны $S_1 = \pi r_1^2$ и $S_2 = \pi r_2^2$ соответственно.

Требуется построить круг с радиусом $R$ и площадью $S_3$, такой что $S_3 = S_1 + S_2$.

Площадь искомого круга выражается формулой $S_3 = \pi R^2$. Подставим выражения для площадей в условие задачи: $\pi R^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, мы получим соотношение между радиусами: $R^2 = r_1^2 + r_2^2$

Это равенство является математической записью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого катеты равны $r_1$ и $r_2$, а гипотенуза равна $R$. Следовательно, задача построения круга с требуемой площадью сводится к задаче построения отрезка $R$ (гипотенузы) по двум известным отрезкам $r_1$ и $r_2$ (катетам).

Алгоритм построения:

1. Построить прямой угол с вершиной в точке $O$. Для этого можно провести две взаимно перпендикулярные прямые.
2. На одной стороне угла отложить от точки $O$ отрезок $OA$, равный радиусу первого круга ($OA = r_1$).
3. На другой стороне угла отложить от точки $O$ отрезок $OB$, равный радиусу второго круга ($OB = r_2$).
4. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком. В полученном прямоугольном треугольнике $AOB$ отрезок $AB$ является гипотенузой.
5. Длина гипотенузы $AB$ и будет искомым радиусом $R$, так как по теореме Пифагора $AB^2 = OA^2 + OB^2 = r_1^2 + r_2^2$.
6. Выбрать на плоскости произвольную точку в качестве центра и построить круг, радиус которого равен длине отрезка $AB$.

Этот построенный круг и будет искомым, так как его площадь равна $\pi R^2 = \pi (r_1^2 + r_2^2) = S_1 + S_2$.

Ответ: Искомый круг — это круг, радиус которого равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны радиусам данных кругов.