Номер 1144, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1144, страница 286.

Условие.

1144*□ Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения правильного восьмиугольника по заданной стороне воспользуемся методом, основанным на нахождении центра его описанной окружности. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Анализ и план построения

Пусть дан отрезок, длина которого равна a — стороне искомого правильного восьмиугольника. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. Пусть O — центр этой окружности, а R — её радиус. Если A и B — две соседние вершины восьмиугольника, то треугольник OAB является равнобедренным с боковыми сторонами OA = OB = R и основанием AB = a.

Центральный угол, опирающийся на сторону правильного восьмиугольника, равен $360^\circ / 8 = 45^\circ$. Таким образом, в треугольнике OAB угол при вершине $\angle AOB = 45^\circ$. Следовательно, углы при основании AB равны:$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 45^\circ) / 2 = 135^\circ / 2 = 67.5^\circ$.

Чтобы построить восьмиугольник, нам достаточно найти центр O описанной окружности. Мы можем найти точку O как точку пересечения двух лучей, проведенных из концов отрезка AB (первой стороны) под углами $67.5^\circ$ к этому отрезку. Угол $67.5^\circ$ можно построить с помощью циркуля и линейки, так как $67.5^\circ = 45^\circ + 22.5^\circ$. Угол $45^\circ$ строится как биссектриса прямого угла ($90^\circ$), а угол $22.5^\circ$ — как биссектриса угла $45^\circ$.

Пошаговое построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок AB, равный длине данной стороны a.
2. Нахождение центра описанной окружности O. Для этого построим в точках A и B углы по $67.5^\circ$:
a) В точке A восстановим перпендикуляр к прямой AB. Получим прямой угол.
b) Построим биссектрису этого прямого угла. Получим луч, образующий с лучом AB угол в $45^\circ$.
c) Теперь построим биссектрису угла, образованного перпендикуляром и лучом, построенным в шаге (b). Этот новый луч (биссектриса) и будет образовывать с лучом AB искомый угол $45^\circ + (90^\circ - 45^\circ)/2 = 45^\circ + 22.5^\circ = 67.5^\circ$. Проведем этот луч.
d) Аналогичные построения (a-c) выполним в точке B, чтобы провести из нее луч под углом $67.5^\circ$ к отрезку BA.
e) Точка пересечения двух построенных лучей является центром описанной окружности O.
3. Построение вершин восьмиугольника.
a) Проведем окружность с центром в точке O и радиусом R = OA. По построению, точки A и B уже лежат на этой окружности.
b) Установим раствор циркуля равным длине отрезка AB (стороне a).
c) Начиная от точки B, делаем на окружности последовательно засечки, получая вершины C, D, E, F, G, H. При точном построении последняя засечка из точки H должна совпасть с точкой A.
4. Завершение построения.
a) Последовательно соединяем отрезками точки A, B, C, D, E, F, G, H и снова A.

В результате мы получили многоугольник ABCDEFGH, у которого все вершины лежат на одной окружности, а все стороны равны данной длине a. Следовательно, этот многоугольник является искомым правильным восьмиугольником.

Ответ: Построение правильного восьмиугольника по заданной стороне выполнено согласно приведенному выше алгоритму.