Номер 1149, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1149, страница 292.

Условие.

1149 Докажите, что при центральной симметрии плоскости:

а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;

б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть $O$ — центр симметрии, а $l$ — прямая, не проходящая через точку $O$. Докажем, что при центральной симметрии относительно точки $O$ прямая $l$ отображается на параллельную ей прямую $l'$.

1. Выберем на прямой $l$ две различные точки $A$ и $B$. При центральной симметрии с центром $O$ они отобразятся в точки $A'$ и $B'$ соответственно. По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезков $AA'$ и $BB'$. Это означает, что $AO = OA'$ и $BO = OB'$.

2. Рассмотрим треугольники $△AOB$ и $△A'OB'$. В них $AO = A'O$ и $BO = B'O$ по определению симметрии, а $∠AOB = ∠A'OB'$ как вертикальные углы. Следовательно, $△AOB \cong △A'OB'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $∠OAB = ∠OA'B'$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ (которая является прямой $l$) и $A'B'$ (обозначим ее $l'$) и секущей $AA'$. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые $l$ и $l'$ параллельны, то есть $l \parallel l'$.

4. Теперь докажем, что образом прямой $l$ является вся прямая $l'$. Мы уже показали, что образы двух точек прямой $l$ лежат на прямой $l'$. Пусть $C$ — любая другая точка на прямой $l$, а $C'$ — её образ. Аналогично доказывается, что $△AOC \cong △A'OC'$, откуда следует, что точки $A', O, C'$ лежат на одной прямой так же, как и $A, O, C$. Важнее, что из этого следует, что точка $C'$ лежит на прямой $A'B'$. То есть образ любой точки прямой $l$ лежит на прямой $l'$.

Чтобы доказать, что любая точка прямой $l'$ является образом некоторой точки прямой $l$, возьмем произвольную точку $D'$ на $l'$. Так как центральная симметрия является преобразованием, обратным самому себе, то прообраз точки $D'$ есть точка $D$, симметричная $D'$ относительно $O$. Проведя обратные рассуждения, мы докажем, что точка $D$ лежит на прямой $l$.

Таким образом, прямая $l$ отображается на параллельную ей прямую $l'$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Пусть $m$ — прямая, проходящая через центр симметрии $O$. Докажем, что прямая $m$ отображается на себя.

1. Возьмем произвольную точку $A$ на прямой $m$. Пусть $A'$ — её образ при центральной симметрии относительно точки $O$.

2. По определению центральной симметрии, точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой (коллинеарны), и точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

3. Поскольку точка $A$ принадлежит прямой $m$ и точка $O$ также принадлежит прямой $m$, то прямая, проходящая через точки $A$ и $O$, — это и есть прямая $m$. Так как точка $A'$ лежит на этой же прямой, то $A'$ также принадлежит прямой $m$. Это доказывает, что образ любой точки с прямой $m$ лежит на этой же прямой $m$.

4. Теперь покажем, что любая точка прямой $m$ является образом некоторой точки этой же прямой. Возьмем произвольную точку $B$ на прямой $m$. Найдем для нее прообраз — точку $C$, которая при симметрии относительно $O$ переходит в $B$. По определению, точка $C$ такова, что $O$ — середина отрезка $CB$. Это значит, что точки $C, O, B$ лежат на одной прямой. Так как $O$ и $B$ лежат на прямой $m$, то и точка $C$ тоже лежит на прямой $m$.

Следовательно, любая точка прямой $m$ является образом некоторой точки с этой же прямой. Таким образом, прямая $m$ отображается на себя.

Ответ: Что и требовалось доказать.