Номер 1150, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1150, страница 293.

Условие.

1150 Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Решение

Пусть при данном движении угол $AOB$ отображается на угол $A_1O_1B_1$, причём точки $A, O, B$ отображаются соответственно в точки $A_1, O_1, B_1$. Так как при движении сохраняются расстояния, то $OA=O_1A_1$, $OB=O_1B_1$. Если угол $AOB$ неразвёрнутый, то треугольники $AOB$ и $A_1O_1B_1$ равны по трём сторонам, и, следовательно, $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$. Если угол $AOB$ развёрнутый, то и угол $A_1O_1B_1$ развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Пусть при данном движении (изометрии) угол $AOB$ отображается на угол $A_1O_1B_1$. Это означает, что вершина угла $O$ и точки $A$ и $B$ на его сторонах отображаются соответственно в точки $O_1$, $A_1$ и $B_1$. По определению, движение сохраняет расстояния между точками. Следовательно, мы имеем следующие равенства для длин отрезков: $OA = O_1A_1$, $OB = O_1B_1$ и $AB = A_1B_1$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Угол $AOB$ не является развёрнутым.

В этом случае точки $A$, $O$, $B$ не лежат на одной прямой и образуют треугольник $AOB$. Соответственно, точки $A_1$, $O_1$, $B_1$ образуют треугольник $A_1O_1B_1$. Сравним эти треугольники. У них стороны соответственно равны: $OA = O_1A_1$, $OB = O_1B_1$ и $AB = A_1B_1$ по свойству сохранения расстояний при движении. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle AOB = \triangle A_1O_1B_1$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $∠AOB = ∠A_1O_1B_1$.

2. Угол $AOB$ является развёрнутым.

Если угол $AOB$ развёрнутый, то его градусная мера равна $180^\circ$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, причём точка $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Свойство "точка лежит между двумя другими точками" эквивалентно равенству $AB = AO + OB$.

Так как движение сохраняет расстояния, то для образов точек $A_1$, $O_1$, $B_1$ выполняются равенства: $A_1B_1 = AB$, $A_1O_1 = AO$ и $O_1B_1 = OB$. Подставив эти значения в предыдущее равенство, получим: $A_1B_1 = A_1O_1 + O_1B_1$.

Это равенство означает, что точки $A_1$, $O_1$ и $B_1$ лежат на одной прямой, причём точка $O_1$ лежит между точками $A_1$ и $B_1$. Следовательно, угол $A_1O_1B_1$ также является развёрнутым, и его градусная мера равна $180^\circ$. Таким образом, $∠AOB = ∠A_1O_1B_1 = 180^\circ$.

В обоих случаях мы доказали, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Ответ: Утверждение доказано.