Номер 1147, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1147, страница 286.

Условие.

1147 Около данной окружности опишите:

а) правильный четырёхугольник;

б) правильный восьмиугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) правильный четырехугольник

Для того чтобы описать правильный четырехугольник (квадрат) около данной окружности с центром в точке $O$, необходимо выполнить следующую последовательность построений:

1. Провести через центр окружности $O$ произвольный диаметр и обозначить его концы, например, $A$ и $C$.

2. Построить второй диаметр $BD$, перпендикулярный диаметру $AC$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$, который пройдет через центр $O$. Точки $A, B, C, D$ являются точками касания сторон будущего квадрата.

3. Построить касательные к окружности в точках $A, B, C, D$. Каждая касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, необходимо построить четыре прямые, проходящие через точки $A, B, C, D$ перпендикулярно диаметрам $AC$ и $BD$ соответственно.

4. Фигура, образованная пересечением этих четырех касательных, является искомым правильным четырехугольником.

Ответ: Искомый правильный четырехугольник строится как фигура, образованная пересечением четырех касательных к окружности, проведенных в концах двух взаимно перпендикулярных диаметров.

б) правильный восьмиугольник

Для того чтобы описать правильный восьмиугольник около данной окружности с центром в точке $O$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти на окружности восемь точек, которые будут являться точками касания сторон восьмиугольника. Эти точки должны делить окружность на восемь равных дуг. Центральный угол между радиусами, проведенными к двум соседним точкам, должен быть равен $360^\circ / 8 = 45^\circ$.

2. Для нахождения этих точек сначала строим два взаимно перпендикулярных диаметра, которые пересекают окружность в четырех точках (назовем их $T_1, T_3, T_5, T_7$).

3. Затем строим биссектрисы четырех прямых углов, образованных этими диаметрами в центре окружности. Биссектрисы пересекут окружность еще в четырех точках (назовем их $T_2, T_4, T_6, T_8$). Таким образом, мы получаем восемь точек $T_1, T_2, \dots, T_8$, равномерно распределенных по окружности.

4. Через каждую из восьми полученных точек $T_1, \dots, T_8$ строим касательную к окружности. Каждая касательная должна быть перпендикулярна радиусу, проведенному из центра $O$ в соответствующую точку касания.

5. Восьмиугольник, образованный последовательным пересечением этих восьми касательных, является искомым правильным восьмиугольником, описанным около данной окружности.

Ответ: Искомый правильный восьмиугольник строится как фигура, образованная пересечением восьми касательных к окружности, проведенных в точках, которые делят окружность на восемь равных дуг. Эти точки находятся путем построения двух перпендикулярных диаметров и биссектрис углов между ними.