Номер 1143, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1143, страница 286.

Условие.

1143 Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Проведем высоту $CD$ к гипотенузе $AB$. Эта высота разделяет треугольник $\triangle ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle CDB$.

Как указано в условии, эти два треугольника подобны друг другу. Для полноты решения докажем это. Пусть $\angle A = \alpha$. Тогда в прямоугольном $\triangle ABC$, $\angle B = 90^\circ - \alpha$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ (угол $\angle ADC = 90^\circ$), имеем $\angle ACD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$. В прямоугольном треугольнике $\triangle CDB$ (угол $\angle CDB = 90^\circ$), имеем $\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Таким образом, углы $\triangle ADC$ равны $\alpha, 90^\circ, 90^\circ - \alpha$, и углы $\triangle CDB$ также равны $\alpha, 90^\circ, 90^\circ - \alpha$. Следовательно, треугольники подобны по трем углам: $\triangle ADC \sim \triangle CDB$.

Пусть $k$ — коэффициент подобия этих треугольников. Это означает, что отношение длин соответствующих сторон равно $k$: $k = \frac{AC}{BC} = \frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}$

Пусть в $\triangle ADC$ вписана окружность с радиусом $r_1$ и длиной $L_1$, а в $\triangle CDB$ — окружность с радиусом $r_2$ и длиной $L_2$. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Таким образом, $L_1 = 2\pi r_1$ и $L_2 = 2\pi r_2$. Отношение длин этих окружностей равно: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{r_1}{r_2}$

Нам нужно доказать, что это отношение равно коэффициенту подобия $k$, то есть $\frac{L_1}{L_2} = k$. Это эквивалентно доказательству того, что $\frac{r_1}{r_2} = k$.

Рассмотрим общее свойство подобных треугольников. Пусть два треугольника $T_1$ и $T_2$ подобны с коэффициентом подобия $k$. Пусть их стороны равны $a_1, b_1, c_1$ и $a_2, b_2, c_2$ соответственно. Тогда $a_1 = k a_2, b_1 = k b_2, c_1 = k c_2$.

Их полупериметры $p_1$ и $p_2$ соотносятся как: $p_1 = \frac{a_1+b_1+c_1}{2} = \frac{k a_2+k b_2+k c_2}{2} = k \frac{a_2+b_2+c_2}{2} = k p_2$

Площади $S_1$ и $S_2$ подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия: $S_1 = k^2 S_2$

Радиусы вписанных окружностей $r_1$ и $r_2$ находятся по формуле $r = S/p$. Тогда их отношение равно: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{S_1/p_1}{S_2/p_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{p_2}{p_1} = \frac{k^2 S_2}{S_2} \cdot \frac{p_2}{k p_2} = k^2 \cdot \frac{1}{k} = k$

Таким образом, мы доказали, что отношение радиусов вписанных окружностей для любых двух подобных треугольников равно их коэффициенту подобия.

Поскольку треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CDB$ подобны с коэффициентом $k$, то отношение радиусов вписанных в них окружностей $\frac{r_1}{r_2}$ также равно $k$. Следовательно, отношение длин этих окружностей равно: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{r_1}{r_2} = k$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение длин окружностей, вписанных в эти два треугольника, равно коэффициенту подобия этих треугольников.