Номер 1141, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1141, страница 286.

Условие.

1141 □ Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $a = 6$ см — длина общей хорды двух окружностей.

1. Рассмотрим первую окружность.

В этой окружности хорда является стороной вписанного квадрата. Обозначим радиус этой окружности $R_1$. Длина стороны вписанного квадрата ($a_4$) связана с радиусом описанной окружности формулой $a_4 = R_1\sqrt{2}$.

По условию $a_4 = a = 6$ см, следовательно: $6 = R_1\sqrt{2}$ $R_1 = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Центральный угол, который стягивает сторона квадрата, равен $\alpha_1 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. В радианах это $\frac{\pi}{2}$. Фигура ограничена большей дугой. Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен $\beta_1 = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$. В радианах это $\frac{3\pi}{2}$.

Длина большей дуги $L_1$ вычисляется по формуле $L_1 = \beta_1 R_1$ (где $\beta_1$ — угол в радианах): $L_1 = \frac{3\pi}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{9\pi\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Рассмотрим вторую окружность.

В этой окружности хорда является стороной правильного вписанного шестиугольника. Обозначим радиус этой окружности $R_2$. Длина стороны правильного вписанного шестиугольника ($a_6$) равна радиусу описанной окружности: $a_6 = R_2$.

По условию $a_6 = a = 6$ см, следовательно, $R_2 = 6$ см.

Центральный угол, который стягивает сторона правильного шестиугольника, равен $\alpha_2 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. В радианах это $\frac{\pi}{3}$. Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен $\beta_2 = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$. В радианах это $\frac{5\pi}{3}$.

Длина большей дуги $L_2$ вычисляется по формуле $L_2 = \beta_2 R_2$: $L_2 = \frac{5\pi}{3} \cdot 6 = 10\pi$ см.

3. Найдем сумму длин дуг.

Искомая сумма длин $L$ равна сумме длин найденных дуг $L_1$ и $L_2$: $L = L_1 + L_2 = \frac{9\pi\sqrt{2}}{2} + 10\pi = \pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2} + 10\right)$ см.

Ответ: $\pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2} + 10\right)$ см.