Номер 1139, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1139, страница 286.

Условие.

1139 ◱ Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $L$ – длина опушки лесного участка (длина окружности) в километрах, а $D$ – его диаметр в километрах. Скорость движения $v = 4$ км/ч.

Время, необходимое для того, чтобы обойти участок по опушке, можно найти по формуле $t_1 = \frac{L}{v}$.

Время, необходимое для того, чтобы пересечь участок по диаметру, равно $t_2 = \frac{D}{v}$.

По условию задачи, время $t_1$ на 45 минут больше, чем $t_2$. Прежде всего, переведем разницу во времени в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:

$\Delta t = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$.

Теперь составим уравнение, исходя из условия задачи: $t_1 - t_2 = \Delta t$.

Подставив выражения для времени, получим:

$\frac{L}{v} - \frac{D}{v} = \Delta t$

Длина окружности $L$ и ее диаметр $D$ связаны формулой $L = \pi D$. Из этой формулы выразим диаметр через длину окружности: $D = \frac{L}{\pi}$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$\frac{L}{v} - \frac{L/\pi}{v} = \Delta t$

$\frac{L}{v} - \frac{L}{\pi v} = \Delta t$

Для того чтобы найти $L$, вынесем его за скобки:

$L \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{\pi v} \right) = \Delta t$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$L \left( \frac{\pi - 1}{\pi v} \right) = \Delta t$

Выразим $L$:

$L = \frac{\Delta t \cdot \pi v}{\pi - 1}$

Подставим известные числовые значения $v=4$ км/ч и $\Delta t = 0.75$ ч:

$L = \frac{0.75 \cdot \pi \cdot 4}{\pi - 1} = \frac{3\pi}{\pi - 1}$

Это точный ответ. Для получения приближенного значения используем $\pi \approx 3.14$:

$L \approx \frac{3 \cdot 3.14}{3.14 - 1} = \frac{9.42}{2.14} \approx 4.4018... \approx 4.4$ км.

Ответ: $\frac{3\pi}{\pi-1}$ км $\approx 4,4$ км.