Номер 1140, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1140, страница 286.

Условие.

1140 В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $r$ — радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Обозначим площадь круга, ограниченного этой окружностью, как $S_{кр}$, а площадь многоугольника — как $S_{мн}$. Длину окружности обозначим как $L_{окр}$, а периметр многоугольника — как $P_{мн}$.

Согласно условию задачи, нам нужно доказать следующее равенство: $$ \frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{L_{окр}}{P_{мн}} $$

Выразим все четыре величины, входящие в это равенство, через радиус $r$ и периметр $P_{мн}$.

Площадь круга и длина окружности определяются стандартными формулами:
$S_{кр} = \pi r^2$
$L_{окр} = 2 \pi r$

Площадь любого многоугольника, в который можно вписать окружность (в том числе и правильного), равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Это следует из того, что многоугольник можно разбить на треугольники, соединив его вершины с центром вписанной окружности. Высотой каждого такого треугольника, опущенной из центра, будет радиус $r$. Таким образом, площадь многоугольника равна:
$S_{мн} = \frac{1}{2} P_{мн} \cdot r$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть доказываемого равенства (отношение площадей): $$ \frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2} P_{мн} \cdot r} $$

Упростим это выражение, сократив на $r$ (поскольку радиус вписанной окружности не может быть равен нулю, $r \ne 0$): $$ \frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{\pi r}{\frac{1}{2} P_{мн}} = \frac{2 \pi r}{P_{мн}} $$

Далее рассмотрим правую часть доказываемого равенства (отношение длины окружности к периметру): $$ \frac{L_{окр}}{P_{мн}} = \frac{2 \pi r}{P_{мн}} $$

Мы получили, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению: $$ \frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{2 \pi r}{P_{мн}} \quad \text{и} \quad \frac{L_{окр}}{P_{мн}} = \frac{2 \pi r}{P_{мн}} $$ Следовательно, исходное равенство $$ \frac{S_{кр}}{S_{мн}} = \frac{L_{окр}}{P_{мн}} $$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.