Номер 1146, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1146, страница 286.

Условие.

1146 □ Около данной окружности опишите:

а) правильный треугольник;

б) правильный шестиугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы описать правильный n-угольник около данной окружности, необходимо построить n касательных к этой окружности так, чтобы они образовывали правильный n-угольник. Точки касания сторон такого n-угольника с окружностью делят ее на n равных дуг. Построение касательной в точке на окружности сводится к построению прямой, перпендикулярной радиусу, проведенному в эту точку.

а) правильный треугольник

Для правильного треугольника (n=3), точки касания делят окружность на 3 равные дуги. Следовательно, центральный угол между радиусами, проведенными в соседние точки касания, составляет $360^\circ / 3 = 120^\circ$.

Алгоритм построения:

1. Пусть дана окружность с центром в точке O. Выберем на ней произвольную точку A.
2. Разделим окружность на три равные части, чтобы найти точки касания. Для этого можно вписать в окружность правильный шестиугольник, последовательно откладывая циркулем хорды, равные радиусу, и затем взять его вершины через одну. Обозначим полученные три точки как A, B и C.
3. Проведем радиусы OA, OB и OC к найденным точкам.
4. В каждой из точек A, B и C построим прямую, перпендикулярную радиусу, проведенному в эту точку. То есть строим прямую $l_1 \perp OA$ через точку A, $l_2 \perp OB$ через точку B, и $l_3 \perp OC$ через точку C. Эти прямые являются касательными к окружности.
5. Точки пересечения касательных $l_1$, $l_2$ и $l_3$ образуют вершины искомого описанного правильного треугольника.

Ответ: Вышеописанная последовательность действий приводит к построению искомого правильного треугольника.

б) правильный шестиугольник

Для правильного шестиугольника (n=6), точки касания делят окружность на 6 равных дуг. Центральный угол между радиусами, проведенными в соседние точки касания, составляет $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Алгоритм построения:

1. Пусть дана окружность с центром в точке O. Выберем на ней произвольную точку A₁.
2. Разделим окружность на шесть равных частей, чтобы найти точки касания. Для этого, установив раствор циркуля равным радиусу окружности, последовательно откладываем от точки A₁ на окружности точки A₂, A₃, A₄, A₅, A₆.
3. Проведем радиусы OA₁, OA₂, OA₃, OA₄, OA₅, OA₆ к найденным точкам.
4. В каждой из точек A₁, A₂, ..., A₆ построим прямую, перпендикулярную соответствующему радиусу. Например, в точке A₁ строим прямую $l_1 \perp OA₁$, в точке A₂ - прямую $l_2 \perp OA₂$, и так далее. Эти шесть прямых являются касательными к окружности.
5. Точки пересечения соседних касательных ($l_1$ и $l_2$, $l_2$ и $l_3$ и т.д.) образуют вершины искомого описанного правильного шестиугольника.

Ответ: Вышеописанная последовательность действий приводит к построению искомого правильного шестиугольника.