Номер 1151, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1151, страница 293.

Условие.

1151 Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и некоторое движение (изометрия) $f$. При движении $f$ прямая $a$ отображается на прямую $a'$, а прямая $b$ – на прямую $b'$. Известно, что движение отображает прямую на прямую.

Требуется доказать, что $a' \parallel b'$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Предположим, что утверждение неверно, то есть образы данных прямых, прямые $a'$ и $b'$, не являются параллельными. Если две различные прямые на плоскости не параллельны, они пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку пересечения как $M'$.

Таким образом, точка $M'$ одновременно принадлежит и прямой $a'$, и прямой $b'$ ($M' \in a'$ и $M' \in b'$).

Движение по своему определению является взаимно-однозначным отображением. Это означает, что для каждой точки-образа (в нашем случае для точки $M'$) существует единственная точка-прообраз. Обозначим прообраз точки $M'$ как $M$. То есть, при движении $f$ точка $M$ переходит в точку $M'$: $f(M) = M'$.

Так как точка $M'$ лежит на прямой $a'$, которая является образом прямой $a$, то её прообраз, точка $M$, должен лежать на прямой $a$ ($M \in a$).

Аналогично, так как точка $M'$ лежит на прямой $b'$, которая является образом прямой $b$, то её прообраз, точка $M$, должен лежать на прямой $b$ ($M \in b$).

Из этого следует, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$, то есть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$.

Однако это противоречит исходному условию задачи, согласно которому прямые $a$ и $b$ параллельны. По определению, параллельные прямые не имеют общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение (что прямые $a'$ и $b'$ не параллельны) было неверным. Следовательно, прямые $a'$ и $b'$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Таким образом, доказано, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Ответ: Утверждение доказано. Допущение, что образы параллельных прямых при движении пересекаются, приводит к противоречию, так как оно влечет за собой пересечение и самих исходных прямых, что невозможно по условию их параллельности. Следовательно, образы параллельных прямых также параллельны.