Номер 1155, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1155, страница 293.

Условие.

1155 $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки $A$, $B$ и $C$ отображаются в точки $A_1$, $B_1$, $C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Для того чтобы существовало движение, переводящее точки $A, B, C$ в точки $A_1, B_1, C_1$, необходимо, чтобы расстояния между соответствующими точками были равны:

$|AB| = |A_1B_1|$, $|BC| = |B_1C_1|$, $|AC| = |A_1C_1|$.

Это является условием равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Если треугольники не равны, то такого движения не существует (их количество равно нулю), и утверждение задачи (существует не более одного движения) в этом случае верно.

Рассмотрим случай, когда такое движение существует (то есть, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны). Докажем, что это движение единственно. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что существуют два различных движения, $f$ и $g$, которые переводят точки $A, B, C$ в точки $A_1, B_1, C_1$ соответственно:

$f(A) = A_1$, $f(B) = B_1$, $f(C) = C_1$

$g(A) = A_1$, $g(B) = B_1$, $g(C) = C_1$

Так как движения $f$ и $g$ различны, то на плоскости найдется хотя бы одна точка $X$, для которой их образы не совпадают: $f(X) \neq g(X)$. Обозначим $X_1 = f(X)$ и $X_2 = g(X)$.

По определению движения, оно сохраняет расстояния. Применим это свойство для движений $f$ и $g$ к точкам $A, B, C$ и $X$.

Для движения $f$ имеем:

$|A_1X_1| = |f(A)f(X)| = |AX|$

$|B_1X_1| = |f(B)f(X)| = |BX|$

$|C_1X_1| = |f(C)f(X)| = |CX|$

Для движения $g$ имеем:

$|A_1X_2| = |g(A)g(X)| = |AX|$

$|B_1X_2| = |g(B)g(X)| = |BX|$

$|C_1X_2| = |g(C)g(X)| = |CX|$

Сравнивая эти равенства, получаем:

$|A_1X_1| = |A_1X_2|$

$|B_1X_1| = |B_1X_2|$

$|C_1X_1| = |C_1X_2|$

Равенство $|A_1X_1| = |A_1X_2|$ означает, что точка $A_1$ равноудалена от точек $X_1$ и $X_2$. Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединный перпендикуляр. Следовательно, точка $A_1$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $X_1X_2$.

Аналогично, из двух других равенств следует, что точки $B_1$ и $C_1$ также лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $X_1X_2$.

Таким образом, три точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой. Но эти точки являются вершинами треугольника $A_1B_1C_1$ и по определению треугольника не могут лежать на одной прямой.

Мы пришли к противоречию. Оно возникло из нашего предположения о существовании двух различных движений $f$ и $g$. Следовательно, это предположение неверно, и если движение, переводящее $A, B, C$ в $A_1, B_1, C_1$, существует, то оно единственно.

Ответ: Утверждение доказано. Существует не более одного движения, которое отображает один заданный треугольник на другой.