Номер 1157, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 1. Понятие движения - номер 1157, страница 293.

Условие.

1157 Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два параллелограмма $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По условию задачи, смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого. Пусть это будут стороны $AB$, $AD$ и угол $\angle DAB$ для первого параллелограмма, и стороны $A_1B_1$, $A_1D_1$ и угол $\angle D_1A_1B_1$ для второго.

Таким образом, нам дано: $AB = A_1B_1$, $AD = A_1D_1$, $\angle DAB = \angle D_1A_1B_1$.

Требуется доказать, что параллелограмм $ABCD$ равен параллелограмму $A_1B_1C_1D_1$.

Доказательство:

1. Проведём в параллелограммах диагонали $BD$ и $B_1D_1$. Каждая диагональ делит свой параллелограмм на два треугольника.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. По условию, сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$, сторона $AD$ равна стороне $A_1D_1$, и угол между ними $\angle DAB$ равен углу $\angle D_1A_1B_1$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$.

3. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их третьи стороны: $BD = B_1D_1$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle CDB$ и $\triangle C_1D_1B_1$. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Поэтому в параллелограмме $ABCD$ имеем $CD = AB$ и $BC = AD$. Аналогично, в параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ имеем $C_1D_1 = A_1B_1$ и $B_1C_1 = A_1D_1$.

5. Так как по условию $AB = A_1B_1$ и $AD = A_1D_1$, то из равенств в предыдущем пункте следует, что $CD = C_1D_1$ и $BC = B_1C_1$. Вдобавок, из пункта 3 мы знаем, что $BD = B_1D_1$.

6. Таким образом, в треугольниках $\triangle CDB$ и $\triangle C_1D_1B_1$ все три стороны соответственно равны. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle CDB = \triangle C_1D_1B_1$.

7. Мы установили, что параллелограмм $ABCD$ состоит из треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$, а параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ состоит из треугольников $\triangle A_1B_1D_1$ и $\triangle C_1D_1B_1$. При этом мы доказали, что $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ и $\triangle CDB = \triangle C_1D_1B_1$. Поскольку параллелограммы составлены из соответственно равных треугольников, соединённых по равным сторонам (диагоналям $BD$ и $B_1D_1$), то сами параллелограммы равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого, то такие параллелограммы равны.