Номер 1164, страница 296 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1164, страница 296.

Условие.

1164 Даны равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и такая точка $D$ на прямой $AC$, что точка $C$ лежит на отрезке $AD$.

a) Постройте отрезок $B_1D$, который получается из отрезка $BC$ параллельным переносом на вектор $\overrightarrow{CD}$.

б) Докажите, что четырёхугольник $ABB_1D$ — равнобедренная трапеция.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Построение отрезка $B_1D$.

По условию задачи, отрезок $B_1D$ получается из отрезка $BC$ в результате параллельного переноса на вектор $\vec{CD}$.

При параллельном переносе на заданный вектор каждая точка фигуры смещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это означает, что:

1. Точка $C$, один из концов отрезка $BC$, переходит в точку $D$.
2. Точка $B$, другой конец отрезка $BC$, переходит в некоторую точку $B_1$.

Переход точки $B$ в точку $B_1$ при переносе на вектор $\vec{CD}$ означает, что вектор перемещения $\vec{BB_1}$ равен вектору переноса $\vec{CD}$, то есть $\vec{BB_1} = \vec{CD}$.

Равенство векторов $\vec{BB_1} = \vec{CD}$ означает, что отрезки $BB_1$ и $CD$ параллельны и равны по длине. Это является признаком параллелограмма для четырехугольника $BCDB_1$.

Таким образом, для построения точки $B_1$ нужно построить параллелограмм $BCDB_1$. Это можно сделать, проведя через точку $B$ прямую, параллельную $CD$ (то есть прямой $AD$), и через точку $D$ — прямую, параллельную $BC$. Точка их пересечения и будет искомой точкой $B_1$.

Соединив точки $B_1$ и $D$, мы получаем искомый отрезок $B_1D$.

Ответ: Точка $B_1$ строится так, чтобы четырехугольник $BCDB_1$ являлся параллелограммом. Отрезок $B_1D$ — это сторона этого параллелограмма, соединяющая точку $D$ с построенной точкой $B_1$.

б) Доказательство, что четырехугольник $ABB_1D$ — равнобедренная трапеция.

Чтобы доказать, что $ABB_1D$ — равнобедренная трапеция, необходимо установить два факта:

1. Четырехугольник $ABB_1D$ является трапецией (имеет одну пару параллельных сторон).
2. Эта трапеция является равнобедренной (ее непараллельные стороны равны).

1. Доказательство, что $ABB_1D$ — трапеция.

Как установлено в пункте а), построение точки $B_1$ основано на векторном равенстве $\vec{BB_1} = \vec{CD}$. По условию, точки $A, C, D$ лежат на одной прямой, следовательно, прямая $AD$ содержит отрезок $CD$. Из этого следует, что прямая $BB_1$ параллельна прямой $AD$ ($BB_1 \parallel AD$).

Рассмотрим стороны $AB$ и $B_1D$. По свойству параллельного переноса, отрезок $B_1D$ параллелен и равен отрезку $BC$ ($B_1D \parallel BC$). Поскольку $AB$ и $BC$ — стороны треугольника $ABC$, они не параллельны. Следовательно, $AB$ и $B_1D$ также не параллельны.

Итак, в четырехугольнике $ABB_1D$ стороны $BB_1$ и $AD$ параллельны, а стороны $AB$ и $B_1D$ не параллельны. По определению, $ABB_1D$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BB_1$.

2. Доказательство, что трапеция $ABB_1D$ — равнобедренная.

Боковыми (непараллельными) сторонами трапеции являются $AB$ и $B_1D$. Нам нужно доказать, что их длины равны, то есть $AB = B_1D$.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. По определению, боковые стороны этого треугольника равны: $AB = BC$.

Параллельный перенос является движением (изометрией), а значит, он сохраняет расстояния между точками. Отрезок $B_1D$ был получен из отрезка $BC$ параллельным переносом. Следовательно, их длины равны: $B_1D = BC$.

Мы имеем два равенства: $AB = BC$ и $B_1D = BC$. Методом подстановки (или из свойства транзитивности равенства) получаем, что $AB = B_1D$.

Таким образом, трапеция $ABB_1D$ имеет равные боковые стороны, а значит, является равнобедренной трапецией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник $ABB_1D$ является трапецией, так как $BB_1 \parallel AD$. Эта трапеция равнобедренная, поскольку ее боковые стороны $AB$ и $B_1D$ равны ($AB = BC$ по условию равнобедренного треугольника, а $BC = B_1D$ по свойству параллельного переноса, из чего следует $AB = B_1D$).