Номер 1168, страница 296 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1168, страница 296.

Условие.

1168 Точка $D$ является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника $ABC$. Докажите, что при повороте вокруг точки $D$ на угол $120^\circ$ треугольник $ABC$ отображается на себя.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Так как треугольник $ABC$ является равносторонним, то все его углы равны $60^\circ$ ($\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$), а все стороны равны.

Точка $D$ — точка пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике точка пересечения биссектрис совпадает с центром описанной окружности (а также с центром вписанной окружности, ортоцентром и центром тяжести). Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника. Следовательно, расстояния от точки $D$ до вершин равны: $DA = DB = DC$. Это означает, что треугольники $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$ являются равнобедренными.

Биссектрисы $AD$, $BD$ и $CD$ делят углы треугольника $ABC$ пополам. Поэтому углы при основании в этих равнобедренных треугольниках равны:
$\angle DAB = \angle DAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle DBA = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle DCB = \angle DCA = \frac{\angle C}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь найдем углы при вершине $D$ в треугольниках $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$, используя свойство о сумме углов треугольника ($180^\circ$):
$\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$
$\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$
$\angle CDA = 180^\circ - (\angle DCA + \angle DAC) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$

Итак, мы установили, что $DA = DB = DC$ и $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ$.

Рассмотрим поворот вокруг точки $D$ на угол $120^\circ$. По определению поворота, точка $X$ переходит в точку $X'$, если $DX = DX'$ и угол $\angle XDX'$ равен углу поворота.
1. Для вершины $A$: у нас есть точка $B$ такая, что $DA = DB$ и $\angle ADB = 120^\circ$. Это означает, что при повороте вокруг $D$ на $120^\circ$ (например, против часовой стрелки) точка $A$ переходит в точку $B$.
2. Для вершины $B$: у нас есть точка $C$ такая, что $DB = DC$ и $\angle BDC = 120^\circ$. Это означает, что при том же повороте точка $B$ переходит в точку $C$.
3. Для вершины $C$: у нас есть точка $A$ такая, что $DC = DA$ и $\angle CDA = 120^\circ$. Это означает, что при том же повороте точка $C$ переходит в точку $A$.

Таким образом, поворот вокруг точки $D$ на угол $120^\circ$ отображает вершины треугольника $ABC$ по следующей схеме: $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$, $C \rightarrow A$. Поскольку положение треугольника однозначно определяется его вершинами, а при повороте множество вершин $\{A, B, C\}$ переходит в множество $\{B, C, A\}$, то есть в себя, то и сам треугольник $ABC$ отображается на себя. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В равностороннем треугольнике $ABC$ точка пересечения биссектрис $D$ является его центром, поэтому она равноудалена от вершин ($DA=DB=DC$). Углы между отрезками, соединяющими центр с вершинами, равны $120^\circ$ ($\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ$). Исходя из определения поворота, поворот на $120^\circ$ вокруг точки $D$ переводит вершину $A$ в $B$, $B$ в $C$, и $C$ в $A$, тем самым отображая треугольник на себя.