Номер 1, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 1, страница 297.

Условие.

1 Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Отображение плоскости на себя — это правило (или закон), согласно которому каждой точке плоскости ставится в соответствие некоторая точка этой же плоскости.

Говоря более формально, пусть $P$ — это множество всех точек на плоскости. Отображение плоскости на себя — это функция $f$, которая действует из множества $P$ в множество $P$, что записывается как $f: P \to P$.

Это означает, что для любой точки $M$ на плоскости (которую называют прообразом) существует единственная точка $M'$ (называемая образом), которая ей соответствует по этому правилу. Это записывается как $M' = f(M)$.

Если на плоскости введена декартова система координат, то каждая точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а её образ $M'$ — координаты $(x', y')$. Тогда отображение можно задать с помощью формул, которые связывают эти координаты: $x' = \phi(x, y)$ и $y' = \psi(x, y)$, где $\phi$ и $\psi$ — некоторые функции.

Рассмотрим несколько примеров отображений плоскости на себя:
Тождественное отображение. Каждая точка плоскости отображается сама на себя: $f(M) = M$. В координатах: $x' = x$, $y' = y$.
Параллельный перенос на вектор $\vec{v}(a, b)$. Каждая точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x+a, y+b)$. Формулы отображения: $x' = x+a$, $y' = y+b$.
Поворот вокруг начала координат на угол $\alpha$. Формулы: $x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$, $y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$.
Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом $k \neq 0$. Каждая точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(kx, ky)$. Формулы: $x' = kx$, $y' = ky$.
Осевая симметрия относительно оси абсцисс ($Ox$). Каждая точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x, -y)$. Формулы: $x' = x$, $y' = -y$.

Важно отметить, что отображение плоскости на себя — это очень общее понятие. Частным случаем таких отображений являются движения (или изометрии) — это отображения, сохраняющие расстояние между точками. Параллельный перенос, поворот и осевая симметрия являются движениями, а гомотетия (при $k \neq \pm 1$) — нет.

Ответ: Отображение плоскости на себя — это правило (функция), по которому каждой точке плоскости сопоставляется одна и только одна точка той же самой плоскости.