Номер 3, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 3, страница 297.

Условие.

3 Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для того чтобы доказать, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя, необходимо показать, что это преобразование является биекцией плоскости на себя. Биективное отображение — это такое отображение, которое одновременно является инъективным (разные точки переходят в разные) и сюръективным (любая точка плоскости является образом некоторой точки).

Пусть дана произвольная прямая $l$ на плоскости, и $S_l$ — осевая симметрия относительно этой прямой.

1. Доказательство того, что осевая симметрия является преобразованием (функцией) из плоскости в плоскость.

Необходимо показать, что для каждой точки $A$ на плоскости существует единственная точка $A'$, являющаяся ее образом при симметрии $S_l$.

• Если точка $A$ лежит на прямой $l$ ($A \in l$), то по определению ее образ $A'$ совпадает с ней самой ($A' = A$). Такая точка-образ единственна.
• Если точка $A$ не лежит на прямой $l$ ($A \notin l$), то ее образ $A'$ — это точка, для которой прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Такая точка $A'$ строится однозначно: через $A$ проводится единственная прямая, перпендикулярная $l$, и на ней откладывается отрезок, равный расстоянию от $A$ до $l$, в противоположную полуплоскость.

Следовательно, для любой точки плоскости ее образ при осевой симметрии существует и определен однозначно. Значит, осевая симметрия является преобразованием (функцией), отображающим плоскость в себя.

2. Доказательство того, что осевая симметрия является инволюцией.

Докажем, что применение симметрии дважды возвращает исходную точку, то есть $S_l(S_l(A)) = A$ для любой точки $A$.

Пусть $A' = S_l(A)$.

• Если $A \in l$, то $A' = A$. Тогда $S_l(A') = S_l(A) = A$. Равенство выполняется.
• Если $A \notin l$, то прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что точка $A$ симметрична точке $A'$ относительно прямой $l$. Но по определению симметрии, образом точки $A'$ (то есть $S_l(A')$) является точка, симметричная $A'$ относительно $l$. Такой точкой является как раз $A$. Следовательно, $S_l(A') = A$, или $S_l(S_l(A)) = A$.

Таким образом, осевая симметрия является инволюцией (преобразованием, обратным самому себе).

3. Доказательство биективности.

Из свойства инволюции напрямую следует, что отображение является биективным.

• Сюръективность (отображение «на»). Нужно доказать, что для любой точки $B$ на плоскости найдется точка $A$, такая что $S_l(A) = B$. Выберем в качестве $A$ точку $S_l(B)$. Такая точка существует и единственна, как показано в п.1. Тогда $S_l(A) = S_l(S_l(B))$. Поскольку $S_l$ — инволюция, $S_l(S_l(B)) = B$. Значит, искомая точка $A$ существует для любой точки $B$.
• Инъективность (взаимная однозначность). Нужно доказать, что если $S_l(A_1) = S_l(A_2)$, то $A_1 = A_2$. Применим к обеим частям равенства $S_l(A_1) = S_l(A_2)$ преобразование $S_l$: $S_l(S_l(A_1)) = S_l(S_l(A_2))$. Используя свойство инволюции, получаем $A_1 = A_2$. Значит, преобразование инъективно.

Вывод.

Поскольку осевая симметрия является биективным преобразованием плоскости (то есть инъективным и сюръективным), она является отображением плоскости на себя.

Ответ: Доказано. Осевая симметрия является отображением плоскости на себя, так как это преобразование является биекцией: для каждой точки плоскости однозначно определяется ее образ, и каждая точка плоскости является образом некоторой единственной точки.