Номер 2, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 2, страница 297.

Условие.

2 Какое отображение плоскости называется:

а) осевой симметрией;

б) центральной симметрией?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

а) осевой симметрией

Осевой симметрией (или отражением) относительно прямой $l$, называемой осью симметрии, называется такое преобразование (отображение) плоскости, при котором каждая точка $M$ этой плоскости переходит в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$.

Это означает, что должны выполняться два условия:
1. Прямая, проходящая через точки $M$ и $M'$, перпендикулярна оси симметрии $l$ ($MM' \perp l$).
2. Расстояние от точки $M$ до прямой $l$ равно расстоянию от точки $M'$ до прямой $l$. Если $H$ — точка пересечения отрезка $MM'$ и прямой $l$, то $MH = HM'$.

Если точка лежит на оси симметрии, то она отображается сама в себя. Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками.

Ответ: Осевой симметрией относительно прямой $l$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ так, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром отрезка $MM'$.

б) центральной симметрией

Центральной симметрией относительно точки $O$, называемой центром симметрии, называется такое преобразование (отображение) плоскости, при котором каждая точка $M$ этой плоскости переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Это означает, что точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой, причём расстояния от центра симметрии до исходной точки и до её образа равны ($MO = OM'$). Сам центр симметрии $O$ при таком преобразовании остается на месте (отображается в себя).

Векторно условие центральной симметрии можно записать как $\vec{OM'} = -\vec{OM}$, где $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ — радиус-векторы точек $M$ и $M'$ относительно центра $O$. Центральная симметрия также является движением и эквивалентна повороту плоскости на $180^\circ$ вокруг центра симметрии.

Ответ: Центральной симметрией относительно точки $O$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ так, что $O$ является серединой отрезка $MM'$.