Номер 5, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 5, страница 297.

Условие.

5 Докажите, что осевая симметрия является движением.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Чтобы доказать, что осевая симметрия является движением, необходимо показать, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$ при осевой симметрии выполняется равенство $AB = A'B'$.

Рассмотрим осевую симметрию относительно некоторой прямой $l$. Введем систему координат так, чтобы прямая $l$ совпала с осью ординат $Oy$. Уравнение этой оси: $x=0$.

Пусть $A$ и $B$ — две произвольные точки с координатами $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$.

При симметрии относительно оси $Oy$ образом точки с координатами $(x, y)$ является точка с координатами $(-x, y)$. Следовательно, образами точек $A$ и $B$ будут точки $A'(-x_A, y_A)$ и $B'(-x_B, y_B)$.

Найдем квадрат расстояния между точками $A$ и $B$, используя формулу расстояния между двумя точками:

$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Теперь найдем квадрат расстояния между их образами, точками $A'$ и $B'$:

$(A'B')^2 = (-x_B - (-x_A))^2 + (y_B - y_A)^2 = (-x_B + x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Так как $(-x_B + x_A)^2 = (-(x_B - x_A))^2 = (x_B - x_A)^2$, то мы можем переписать выражение для $(A'B')^2$:

$(A'B')^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Сравнивая полученные выражения, видим, что $AB^2 = (A'B')^2$. Поскольку расстояние — это неотрицательная величина, из равенства квадратов расстояний следует и равенство самих расстояний: $AB = A'B'$.

Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние между любыми двумя точками, а значит, является движением. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что осевая симметрия сохраняет расстояние между точками, следовательно, она является движением.