Номер 8, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 8, страница 297.

Условие.

8 Докажите, что при движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ и некоторое движение (изометрия). При этом движении вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ отображаются в точки $A'$, $B'$ и $C'$ соответственно, которые образуют треугольник $A'B'C'$.

Движение — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это означает, что для любых двух точек $M$ и $N$ и их образов $M'$ и $N'$, полученных в результате движения, расстояние между $M$ и $N$ равно расстоянию между $M'$ и $N'$, то есть $MN = M'N'$.

Применим это свойство к сторонам треугольников $ABC$ и $A'B'C'$. Стороны треугольника — это отрезки, соединяющие его вершины, а их длины — это расстояния между вершинами.

Так как движение сохраняет расстояния, то:
1. Длина стороны $A'B'$ треугольника $A'B'C'$ равна длине стороны $AB$ треугольника $ABC$, так как $A'B' = AB$.
2. Длина стороны $B'C'$ треугольника $A'B'C'$ равна длине стороны $BC$ треугольника $ABC$, так как $B'C' = BC$.
3. Длина стороны $A'C'$ треугольника $A'B'C'$ равна длине стороны $AC$ треугольника $ABC$, так как $A'C' = AC$.

Таким образом, три стороны треугольника $A'B'C'$ соответственно равны трем сторонам треугольника $ABC$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольник $A'B'C'$ равен треугольнику $ABC$.

Следовательно, при движении треугольник отображается на равный ему треугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении движения, согласно которому оно сохраняет расстояния между точками. Поскольку вершины треугольника являются точками, расстояния между ними (то есть длины сторон) сохраняются. Таким образом, исходный треугольник и его образ имеют соответственно равные стороны, а значит, они равны по третьему признаку равенства треугольников.