Номер 15, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 15, страница 297.

Условие.

15 Докажите, что параллельный перенос является движением.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками. Чтобы доказать, что параллельный перенос является движением, нужно показать, что для любых двух точек $A$ и $B$ расстояние между ними $AB$ равно расстоянию $A'B'$ между их образами, полученными в результате этого переноса.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Возьмём две произвольные точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Расстояние между ними вычисляется по формуле:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Рассмотрим параллельный перенос, который задаётся вектором $\vec{v} = (a, b)$. При таком переносе любая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x+a, y+b)$.

Следовательно, точка $A(x_1, y_1)$ перейдёт в точку $A'(x_1 + a, y_1 + b)$, а точка $B(x_2, y_2)$ перейдёт в точку $B'(x_2 + a, y_2 + b)$.

Теперь найдём расстояние между образами этих точек, $A'$ и $B'$:

$A'B' = \sqrt{((x_2 + a) - (x_1 + a))^2 + ((y_2 + b) - (y_1 + b))^2}$

Упростим выражение под корнем:

$A'B' = \sqrt{(x_2 + a - x_1 - a)^2 + (y_2 + b - y_1 - b)^2}$

$A'B' = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Сравнивая полученное выражение для $A'B'$ с исходным выражением для $AB$, мы видим, что $A'B' = AB$.

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между любыми двумя точками плоскости. Следовательно, по определению, параллельный перенос является движением.

Ответ: Так как при параллельном переносе расстояние между любыми двумя точками сохраняется, он является движением, что и требовалось доказать.