Номер 16, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 16, страница 297.

Условие.

16. Какое отображение плоскости называется поворотом?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Поворот плоскости — это преобразование (отображение) плоскости на себя, которое задается центром поворота $O$ и углом поворота $\alpha$. При этом преобразовании каждая точка $M$ плоскости отображается в такую точку $M'$, что выполняются два условия:
1. Расстояние от центра поворота до точки $M$ равно расстоянию от центра поворота до ее образа $M'$ (то есть, $|OM| = |OM'|$).
2. Угол между лучом $OM$ и лучом $OM'$ равен углу поворота $\alpha$ (то есть, $\angle MOM' = \alpha$).

Точка $O$, называемая центром поворота, при этом преобразовании остается на месте (отображается сама в себя). Угол $\alpha$, называемый углом поворота, определяет величину и направление вращения. Положительным направлением вращения принято считать направление против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

Поворот является движением (или изометрией), так как он сохраняет расстояния между точками. Это означает, что любая фигура при повороте переходит в равную ей фигуру.

Аналитически, если центр поворота совпадает с началом координат $O(0, 0)$, то координаты $(x', y')$ точки $M'$, полученной поворотом точки $M(x, y)$ на угол $\alpha$, вычисляются по формулам:
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$
$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Ответ: Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что расстояние $|OM|$ равно расстоянию $|OM'|$, а угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$.