Номер 1172, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1172, страница 297.

Условие.

1172 При данном движении каждая из двух точек $A$ и $B$ отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой $AB$ отображается на себя.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $f$ — данное движение (изометрия). По условию задачи, точки $A$ и $B$ являются неподвижными, то есть $f(A) = A$ и $f(B) = B$. Нам нужно доказать, что любая точка $C$, лежащая на прямой $AB$, также является неподвижной, то есть $f(C) = C$.

Возьмём произвольную точку $C$ на прямой $AB$. Пусть её образом при движении $f$ является точка $C'$, то есть $C' = f(C)$.

По определению, движение сохраняет расстояния между точками. Следовательно, должны выполняться следующие равенства:

1. Расстояние между точками $A$ и $C$ равно расстоянию между их образами $f(A)$ и $f(C)$. Так как $f(A) = A$ и $f(C) = C'$, получаем:$|AC| = |f(A)f(C)| = |AC'|$.

2. Расстояние между точками $B$ и $C$ равно расстоянию между их образами $f(B)$ и $f(C)$. Так как $f(B) = B$ и $f(C) = C'$, получаем:$|BC| = |f(B)f(C)| = |BC'|$.

Также одним из свойств движения является то, что оно преобразует прямую в прямую. Так как точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, их образы $f(A), f(B), f(C)$, то есть точки $A, B, C'$, также должны лежать на одной прямой. Это означает, что точка $C'$ принадлежит прямой $AB$.

Итак, нам нужно найти точку $C'$ на прямой $AB$, которая удовлетворяет двум условиям: $|AC'| = |AC|$ и $|BC'| = |BC|$.

Для удобства введём на прямой $AB$ систему координат. Пусть точка $A$ будет началом отсчёта (её координата равна 0), а точка $B$ имеет координату $d$, где $d = |AB|$. Так как $A$ и $B$ — разные точки, $d \neq 0$. Пусть точка $C$ имеет координату $x$, а её образ $C'$ — координату $x'$.

Расстояние между двумя точками с координатами $x_1$ и $x_2$ на прямой вычисляется как $|x_1 - x_2|$. Перепишем наши условия в координатах:

1. $|AC'| = |AC| \implies |x' - 0| = |x - 0| \implies |x'| = |x|$.
Из этого равенства следует, что либо $x' = x$, либо $x' = -x$.

2. $|BC'| = |BC| \implies |x' - d| = |x - d|$.

Рассмотрим два возможных случая, вытекающих из первого условия.

Случай 1: $x' = x$.
Подставим это значение во второе условие: $|x - d| = |x - d|$. Это тождество, которое верно для любого $x$. Таким образом, $x' = x$ всегда является решением. Это означает, что точка $C$ может отображаться сама в себя.

Случай 2: $x' = -x$.
Этот случай имеет смысл рассматривать, если $x \neq 0$ (то есть точка $C$ не совпадает с $A$), так как при $x=0$ он сводится к первому случаю ($x' = -0 = 0 = x$).
Подставим $x' = -x$ во второе условие:
$| -x - d | = |x - d|$
$| -(x + d) | = |x - d|$
$|x + d| = |x - d|$
Возведём обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от знаков модуля:
$(x + d)^2 = (x - d)^2$
$x^2 + 2xd + d^2 = x^2 - 2xd + d^2$
$2xd = -2xd$
$4xd = 0$
Поскольку точки $A$ и $B$ различны, то $d = |AB| \neq 0$. Следовательно, из равенства $4xd = 0$ следует, что $x = 0$.
Это означает, что случай $x' = -x$ возможен только при $x = 0$. Но при $x = 0$ точка $C$ совпадает с точкой $A$, и тогда $x' = -0 = 0 = x$, что снова приводит нас к первому случаю. Таким образом, если $C \neq A$, то второй случай невозможен.

Оба случая показывают, что единственным возможным решением для любой точки $C$ на прямой $AB$ является $x' = x$, что соответствует $C' = C$.

Следовательно, любая точка прямой $AB$ при данном движении отображается на себя.

Ответ: Что и требовалось доказать.