Номер 1179, страница 298 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1179, страница 298.

Условие.

1179* На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ построен треугольник $ABS$ так, как показано на рисунке 333: $CC_1 \perp AS$, $DD_1 \perp BS$. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые $SK$ и $AB$ взаимно перпендикулярны.

Рис. 333

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства утверждения воспользуемся параллельным переносом.

1. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{BC}$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то $\vec{BC} = \vec{AD}$.

2. При этом переносе:

• Точка $B$ переходит в точку $C$ (по определению вектора переноса).
• Точка $A$ переходит в точку $D$, так как $\vec{AD} = \vec{BC}$.
• Пусть точка $S$ переходит в некоторую точку $S'$. Тогда $\vec{SS'} = \vec{BC}$.

Следовательно, треугольник $ABS$ при данном параллельном переносе отображается на треугольник $DS'C$.

3. Так как параллельный перенос является движением, он сохраняет параллельность прямых. Поэтому:

• Образом прямой $AS$ является прямая $DS'$, следовательно, $AS \parallel DS'$.
• Образом прямой $BS$ является прямая $CS'$, следовательно, $BS \parallel CS'$.

4. Теперь используем условия перпендикулярности из задачи:

• Дано, что $CC_1 \perp AS$. Поскольку $AS \parallel DS'$, то прямая $CC_1$ перпендикулярна и прямой $DS'$ ($CC_1 \perp DS'$). Это означает, что прямая $CC_1$ содержит высоту треугольника $DS'C$, опущенную из вершины $C$.
• Дано, что $DD_1 \perp BS$. Поскольку $BS \parallel CS'$, то прямая $DD_1$ перпендикулярна и прямой $CS'$ ($DD_1 \perp CS'$). Это означает, что прямая $DD_1$ содержит высоту треугольника $DS'C$, опущенную из вершины $D$.

5. Точка $K$ по условию является точкой пересечения прямых $CC_1$ и $DD_1$. Таким образом, $K$ — это точка пересечения двух высот треугольника $DS'C$. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Следовательно, $K$ — ортоцентр треугольника $DS'C$.

6. Третья высота треугольника $DS'C$, опущенная из вершины $S'$ на сторону $DC$, также должна проходить через ортоцентр $K$. Это означает, что прямая $S'K$ перпендикулярна прямой $DC$, то есть $S'K \perp DC$.

7. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны параллельны, значит, $AB \parallel DC$. Так как $S'K \perp DC$ и $AB \parallel DC$, то прямая $S'K$ перпендикулярна и прямой $AB$ ($S'K \perp AB$).

8. По построению, точка $S'$ была получена из точки $S$ параллельным переносом на вектор $\vec{BC}$. Это значит, что прямая $SS'$ параллельна прямой $BC$. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ перпендикулярна стороне $AB$ ($BC \perp AB$). Следовательно, прямая $SS'$ также перпендикулярна прямой $AB$ ($SS' \perp AB$).

9. Мы получили, что из точки $S'$ к прямой $AB$ проведены два перпендикуляра: $S'K$ и $S'S$. Из одной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр. Это означает, что прямые $S'K$ и $S'S$ совпадают, а значит, точки $S$, $K$ и $S'$ лежат на одной прямой.

10. Раз точки $S, K, S'$ лежат на одной прямой, то прямая $SK$ совпадает с прямой $S'K$. Поскольку мы доказали, что $S'K \perp AB$, то и прямая $SK \perp AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что прямые $SK$ и $AB$ взаимно перпендикулярны, доказано с использованием параллельного переноса.