Номер 1182, страница 299 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1182, страница 299.

Условие.

1182 Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её основаниям и диагоналям.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения трапеции по её основаниям и диагоналям используется метод параллельного переноса. Пусть даны длины оснований $a$ и $b$ (для определенности, $a > b$), и длины диагоналей $d_1$ и $d_2$.

Анализ

Предположим, что искомая трапеция $ABCD$ построена. В ней $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD = a, BC = b$ и $AD \parallel BC$. Диагонали трапеции равны $AC = d_1$ и $BD = d_2$.

Выполним параллельный перенос диагонали $BD$ на вектор $\vec{BC}$. При этом точка $B$ перейдет в точку $C$, а точка $D$ — в некоторую точку $D'$. В результате мы получим отрезок $CD'$, который параллелен и равен отрезку $BD$. Таким образом, $CD' = BD = d_2$.

Так как перенос осуществлялся на вектор $\vec{BC}$, то $\vec{DD'} = \vec{BC}$. Это означает, что четырехугольник $BCDD'$ — параллелограмм. Следовательно, $DD' = BC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD'$. Его стороны нам известны:

• Сторона $AC$ равна $d_1$ по условию.
• Сторона $CD'$ равна $d_2$, как было показано выше.
• Сторона $AD'$ состоит из отрезков $AD$ и $DD'$. Так как $BC \parallel AD$, то и $DD' \parallel AD$, значит точки $A, D, D'$ лежат на одной прямой. Длина стороны $AD'$ равна сумме длин оснований: $AD' = AD + DD' = a + b$.

Таким образом, задача построения трапеции сводится к построению треугольника $ACD'$ по трем известным сторонам: $d_1, d_2, a+b$. После того как этот треугольник будет построен, мы сможем найти все вершины искомой трапеции.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AD'$, длина которого равна сумме длин оснований $a+b$.
2. Построим треугольник $ACD'$ по трем сторонам. Для этого из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $d_1$, а из точки $D'$ как из центра — дугу окружности радиусом $d_2$. Точку пересечения этих дуг обозначим буквой $C$.
3. На отрезке $AD'$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, равный основанию $a$. Оставшаяся часть отрезка, $DD'$, будет равна $b$.
4. Теперь найдем четвертую вершину $B$. Так как четырехугольник $BCDD'$ — параллелограмм, то вектор $\vec{CB}$ равен вектору $\vec{D'D}$. Для построения точки $B$ проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AD'$, и отложим на ней от точки $C$ отрезок $CB$ длиной $b$ в направлении, противоположном лучу $AD'$.
5. Соединим последовательно точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет условиям задачи.

• По построению (шаг 4) прямая $BC$ параллельна прямой $AD$, следовательно, $ABCD$ — трапеция.
• Основания трапеции по построению равны $AD = a$ (шаг 3) и $BC = b$ (шаг 4).
• Диагональ $AC$ по построению равна $d_1$ (шаг 2).
• Рассмотрим четырехугольник $BCDD'$. По построению $BC \parallel DD'$ (так как обе параллельны $AD'$) и $BC = DD' = b$. Значит, $BCDD'$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BD = CD'$. А так как при построении треугольника $ACD'$ мы задали $CD' = d_2$, то и диагональ $BD = d_2$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ имеет заданные длины оснований и диагоналей.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно выполнить шаг 2 построения, то есть построить треугольник $ACD'$ со сторонами $a+b, d_1, d_2$. Согласно неравенству треугольника, это возможно, если сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны. Так как $a, b, d_1, d_2$ — это длины отрезков, то они являются положительными величинами. Неравенства $d_1 + (a+b) > d_2$ и $d_2 + (a+b) > d_1$ выполняются всегда. Следовательно, единственным условием, определяющим существование решения, является неравенство $d_1 + d_2 > a+b$.

Если $d_1 + d_2 > a+b$, то задача имеет единственное решение (с точностью до симметрии относительно прямой $AD'$). Если $d_1 + d_2 \le a+b$, то построение невозможно, и задача не имеет решений.

Ответ: Искомая трапеция строится на основе треугольника со сторонами, равными $d_1, d_2$ и $a+b$. Алгоритм построения описан выше в пункте Построение. Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при условии, что сумма длин диагоналей больше суммы длин оснований ($d_1 + d_2 > a+b$), и не имеет решений в противном случае.