Номер 1186, страница 313 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1186, страница 313.

Условие.

1186 Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим прямую $n$-угольную призму. Её основаниями являются два равных $n$-угольника, а боковые грани — прямоугольники.

Пусть стороны многоугольника, лежащего в основании призмы, равны $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Периметр основания $P_{осн}$ — это сумма длин всех его сторон:
$P_{осн} = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

Поскольку призма прямая, все её боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны между собой. Обозначим длину бокового ребра (которая также является высотой призмы) как $h$.

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Каждая боковая грань-прямоугольник имеет стороны, равные соответствующей стороне основания ($a_i$) и боковому ребру ($h$).

Площадь $i$-й боковой грани ($S_i$) вычисляется как произведение её сторон:
$S_i = a_i \cdot h$

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) по определению равна сумме площадей всех её боковых граней:
$S_{бок} = S_1 + S_2 + \dots + S_n$

Подставим выражения для площадей каждой грани в эту сумму:
$S_{бок} = (a_1 \cdot h) + (a_2 \cdot h) + \dots + (a_n \cdot h)$

Вынесем общий множитель $h$ за скобки:
$S_{бок} = (a_1 + a_2 + \dots + a_n) \cdot h$

Сумма в скобках представляет собой периметр основания призмы $P_{осн}$. Следовательно, мы получаем искомую формулу:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания на длину бокового ребра. Что и требовалось доказать.

Ответ:
Утверждение доказано. Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) действительно равна произведению периметра её основания ($P_{осн}$) на боковое ребро ($h$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.