Номер 1184, страница 313 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1184, страница 313.

Условие.

1184 Сколько граней, рёбер и вершин имеет:

а) прямоугольный параллелепипед;

б) тетраэдр;

в) октаэдр?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная фигура, у которой все шесть граней являются прямоугольниками. Для определения количества его элементов, представим себе обычный кирпич или коробку.

Грани: У параллелепипеда есть верхняя и нижняя грани (основания), а также четыре боковые грани. Итого: $2 + 4 = 6$ граней.

Рёбра: Рёбра — это стороны граней. У него 4 ребра на верхнем основании, 4 ребра на нижнем и 4 боковых ребра, которые их соединяют. Итого: $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер.

Вершины: Вершины — это углы фигуры, где сходятся рёбра. У параллелепипеда 4 вершины на верхнем основании и 4 на нижнем. Итого: $4 + 4 = 8$ вершин.

Эти значения удовлетворяют теореме Эйлера о многогранниках: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней. Проверка: $8 - 12 + 6 = 2$.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

б) тетраэдр

Тетраэдр — это многогранник, ограниченный четырьмя треугольниками. Его можно рассматривать как треугольную пирамиду.

Грани: У тетраэдра одна грань является основанием (треугольник) и три боковые грани (также треугольники). Итого: $1 + 3 = 4$ грани.

Рёбра: Три ребра образуют основание, и ещё три ребра соединяют вершины основания с вершиной пирамиды. Итого: $3 + 3 = 6$ рёбер.

Вершины: Три вершины находятся в основании и одна вершина — наверху (апекс). Итого: $3 + 1 = 4$ вершины.

Проверка по теореме Эйлера: $В - Р + Г = 4 - 6 + 4 = 2$.

Ответ: 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины.

в) октаэдр

Октаэдр — это многогранник, имеющий восемь граней. Правильный октаэдр состоит из восьми равносторонних треугольников и выглядит как две четырёхугольные пирамиды, соединённые своими основаниями.

Грани: По определению, у октаэдра 8 граней (4 в верхней "пирамиде" и 4 в нижней).

Вершины: У октаэдра есть одна верхняя вершина, одна нижняя и четыре вершины, расположенные в средней плоскости (на общем "основании" двух пирамид). Итого: $1 + 1 + 4 = 6$ вершин.

Рёбра: Четыре ребра идут от верхней вершины к средним, четыре ребра идут от нижней вершины к средним, и четыре ребра соединяют средние вершины по периметру. Итого: $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер.

Проверка по теореме Эйлера: $В - Р + Г = 6 - 12 + 8 = 2$.

Ответ: 8 граней, 12 рёбер и 6 вершин.