Номер 1177, страница 298 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1177, страница 298.

Условие.

1177 Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Точки $A_2$, $B_2$ и $C_2$ являются соответственно серединами отрезков $AM$, $BM$ и $CM$. Докажите, что $\triangle A_1 B_1 C_1 = \triangle A_2 B_2 C_2$.

Решение

Так как $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, то $AM = 2MA_1$. Отсюда, учитывая, что точка $A_2$ — середина отрезка $AM$, получаем $MA_1 = MA_2$, т.е. точки $A_1$ и $A_2$ симметричны относительно точки $M$. Аналогично точки $B_1$ и $B_2$, а также точки $C_1$ и $C_2$ симметричны относительно точки $M$.

Рассмотрим центральную симметрию относительно точки $M$. При этой симметрии точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ отображаются в точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, поэтому треугольник $A_1 B_1 C_1$ отображается на треугольник $A_2 B_2 C_2$, и, следовательно, $\triangle A_2 B_2 C_2 = \triangle A_1 B_1 C_1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Пусть дан треугольник $ABC$. Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ этого треугольника пересекаются в точке $M$.

По свойству точки пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Рассмотрим медиану $AA_1$. Для нее выполняется соотношение:

$AM : MA_1 = 2 : 1$, что эквивалентно $AM = 2 \cdot MA_1$.

По условию задачи, точка $A_2$ является серединой отрезка $AM$. Это означает, что:

$AM = 2 \cdot MA_2$.

Приравнивая два выражения для длины отрезка $AM$, получаем:

$2 \cdot MA_1 = 2 \cdot MA_2$

Отсюда следует, что $MA_1 = MA_2$. Так как точки $A_1$, $M$ и $A_2$ лежат на одной прямой (на прямой, содержащей медиану $AA_1$), а точка $M$ равноудалена от $A_1$ и $A_2$, то $M$ является серединой отрезка $A_1A_2$. Это означает, что точки $A_1$ и $A_2$ симметричны относительно точки $M$.

Аналогичные рассуждения проведем для двух других медиан:

• Для медианы $BB_1$: $BM = 2 \cdot MB_1$. Точка $B_2$ – середина $BM$, значит $BM = 2 \cdot MB_2$. Следовательно, $MB_1 = MB_2$, и точки $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно точки $M$.
• Для медианы $CC_1$: $CM = 2 \cdot MC_1$. Точка $C_2$ – середина $CM$, значит $CM = 2 \cdot MC_2$. Следовательно, $MC_1 = MC_2$, и точки $C_1$ и $C_2$ симметричны относительно точки $M$.

Рассмотрим центральную симметрию с центром в точке $M$. При таком преобразовании каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что $M$ является серединой отрезка $PP'$.

Мы установили, что:

• точка $A_1$ симметрична точке $A_2$ относительно $M$,
• точка $B_1$ симметрична точке $B_2$ относительно $M$,
• точка $C_1$ симметрична точке $C_2$ относительно $M$.

Это означает, что при центральной симметрии с центром в $M$ треугольник $\Delta A_1B_1C_1$ полностью переходит в треугольник $\Delta A_2B_2C_2$ (вершина $A_1$ в $A_2$, $B_1$ в $B_2$, $C_1$ в $C_2$).

Центральная симметрия является движением (изометрией), то есть преобразованием, сохраняющим расстояния. Любое движение переводит фигуру в равную ей фигуру. Следовательно, треугольник $\Delta A_1B_1C_1$ равен треугольнику $\Delta A_2B_2C_2$.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta A_1B_1C_1 = \Delta A_2B_2C_2$ доказано.