Номер 1173, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1173, страница 297.

Условие.

1173 При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $f$ — данное движение (изометрия) плоскости. По условию, для вершин треугольника $ABC$ выполняются равенства: $f(A) = A$, $f(B) = B$ и $f(C) = C$. Поскольку $A$, $B$, $C$ являются вершинами треугольника, они не лежат на одной прямой (неколлинеарны).

Рассмотрим произвольную точку $M$ на плоскости. Пусть ее образом при данном движении является точка $M'$, то есть $f(M) = M'$.

Движение по определению сохраняет расстояния между точками. Это означает, что для любых двух точек $P$ и $Q$ расстояние между ними равно расстоянию между их образами: $|PQ| = |f(P)f(Q)|$.

Применим это свойство к точке $M$ и каждой из вершин треугольника $A, B, C$. Расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M'$ до образа $A$, то есть $|MA| = |f(M)f(A)| = |M'A|$, поскольку $f(A) = A$. Аналогично, для вершин $B$ и $C$ получаем $|MB| = |M'B|$ и $|MC| = |M'C|$.

Таким образом, точка $M'$ должна одновременно удовлетворять трем условиям: $|M'A| = |MA|$, $|M'B| = |MB|$ и $|M'C| = |MC|$. Эти равенства означают, что точка $M'$ находится на тех же расстояниях от неподвижных точек $A$, $B$ и $C$, что и исходная точка $M$.

Рассмотрим первые два равенства. Они показывают, что точка $M'$ лежит на пересечении двух окружностей: одной с центром в $A$ и радиусом $|MA|$, и второй с центром в $B$ и радиусом $|MB|$. Две различные окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Мы знаем, что сама точка $M$ удовлетворяет этим условиям, поэтому она является одной из точек пересечения.

Если точка $M$ лежит на прямой $AB$, то эти две окружности могут иметь только одну общую точку (касаться) — саму точку $M$. В этом случае $M'$ может быть только точкой $M$, то есть $M' = M$.

Если точка $M$ не лежит на прямой $AB$, то окружности пересекаются в двух точках: $M$ и некоторой точке $M_2$, которая симметрична $M$ относительно прямой $AB$. Значит, $M'$ может быть либо $M$, либо $M_2$.

Теперь воспользуемся третьим равенством: $|M'C| = |MC|$. В случае, когда $M'$ может быть $M_2$, должно выполняться условие $|M_2C| = |MC|$. Это равенство означает, что точка $C$ равноудалена от точек $M$ и $M_2$. Множество точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Серединным перпендикуляром к отрезку $MM_2$ является прямая $AB$. Следовательно, равенство $|M_2C| = |MC|$ было бы верным только если бы точка $C$ лежала на прямой $AB$. Но это противоречит условию, что $A, B, C$ — вершины треугольника. Значит, $C$ не лежит на прямой $AB$, и $|M_2C| \neq |MC|$.

Таким образом, точка $M_2$ не может быть образом точки $M$. Единственной возможной точкой для $M'$ остается сама точка $M$. Итак, $M' = M$.

Поскольку $M$ — произвольная точка плоскости, мы доказали, что любая точка плоскости при данном движении отображается на себя, что и требовалось доказать.

Ответ: Движение, оставляющее на месте три точки, не лежащие на одной прямой, является тождественным преобразованием. Так как вершины треугольника $A, B, C$ не лежат на одной прямой и остаются на месте ($f(A)=A, f(B)=B, f(C)=C$), то любая точка плоскости $M$ также остается на месте ($f(M)=M$).