Номер 17, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Вопросы к главе 13 - номер 17, страница 297.

Условие.

17 Докажите, что поворот является движением.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками. Чтобы доказать, что поворот является движением, необходимо показать, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$ при повороте, расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$.

Пусть задан поворот плоскости с центром в точке $O$ на угол $\alpha$. Пусть $A$ и $B$ — две произвольные точки на плоскости. При этом повороте точка $A$ переходит в точку $A'$, а точка $B$ — в точку $B'$. По определению поворота, $OA = OA'$, $\angle AOA' = \alpha$, $OB = OB'$ и $\angle BOB' = \alpha$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. Сравним их элементы.

1. Сторона $OA$ равна стороне $OA'$ по определению поворота.

2. Сторона $OB$ равна стороне $OB'$ также по определению поворота.

3. Докажем, что углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB'$ равны. Поворот является жестким преобразованием, поэтому угол между лучами, исходящими из центра поворота, сохраняется. Формально, если лучи $OA$ и $OB$ образуют с некоторым начальным лучом углы $\phi_A$ и $\phi_B$, то $\angle AOB = |\phi_A - \phi_B|$. После поворота на угол $\alpha$ новые лучи $OA'$ и $OB'$ будут образовывать с начальным лучом углы $\phi_{A'} = \phi_A + \alpha$ и $\phi_{B'} = \phi_B + \alpha$. Тогда угол между ними будет равен $\angle A'OB' = |\phi_{A'} - \phi_{B'}| = |(\phi_A + \alpha) - (\phi_B + \alpha)| = |\phi_A - \phi_B| = \angle AOB$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($OA = OA'$, $OB = OB'$, $\angle AOB = \angle A'OB'$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOB \cong \triangle A'OB'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = A'B'$.

Данное доказательство было проведено для случая, когда точки $O$, $A$, $B$ не лежат на одной прямой. В случае, если они лежат на одной прямой, равенство расстояний также сохраняется. Например, если точка $A$ лежит между $O$ и $B$, то $AB = OB - OA$. После поворота точки $O$, $A'$, $B'$ также будут лежать на одной прямой, и $A'$ будет лежать между $O$ и $B'$. Тогда $A'B' = OB' - OA'$. Поскольку $OA = OA'$ и $OB = OB'$, получаем $A'B' = OB - OA = AB$. Аналогично для других случаев взаимного расположения точек.

Поскольку для любых двух точек $A$ и $B$ расстояние между ними сохраняется при повороте ($AB = A'B'$), то поворот по определению является движением.

Ответ: Утверждение доказано. Поворот является движением, так как он сохраняет расстояние между любыми двумя точками.