Номер 1175, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1175, страница 297.

Условие.

1175 Даны прямая $a$ и точки $M$ и $N$, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой $a$ существует единственная точка $X$, такая, что сумма расстояний $MX + XN$ имеет наименьшее значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся методом осевой симметрии. Пусть дана прямая $a$ и точки $M$ и $N$, лежащие по одну сторону от нее. Требуется найти на прямой $a$ такую точку $X$, чтобы сумма расстояний $MX + XN$ была минимальной, и доказать, что такая точка единственна.

Построим точку $N'$, симметричную точке $N$ относительно прямой $a$. По определению осевой симметрии, прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $NN'$. Это означает, что для любой точки $X$, принадлежащей прямой $a$, расстояние до точки $N$ равно расстоянию до точки $N'$. Таким образом, справедливо равенство $XN = XN'$.

Теперь мы можем переписать исходную сумму расстояний: $S = MX + XN = MX + XN'$. Задача свелась к нахождению на прямой $a$ такой точки $X$, которая минимизирует длину ломаной линии $MXN'$.

Как известно, кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. В нашем случае, кратчайшее расстояние между точками $M$ и $N'$ — это длина отрезка $MN'$. Длина ломаной $MXN'$ всегда будет не меньше длины отрезка $MN'$, что следует из неравенства треугольника для точек $M$, $X$ и $N'$:

$MX + XN' \ge MN'$

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда точка $X$ лежит на отрезке $MN'$.

Теперь докажем, что такая точка $X$ существует и она единственна.

Существование: Так как точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $a$, то точка $N'$ (отражение $N$) будет лежать по другую сторону от прямой $a$ относительно точки $M$. Отрезок, соединяющий две точки по разные стороны от прямой, обязательно пересекает эту прямую. Пусть $X_0$ — точка пересечения отрезка $MN'$ с прямой $a$. Эта точка существует. Для нее выполняется равенство $MX_0 + X_0N' = MN'$, а значит, сумма $MX_0 + X_0N$ принимает наименьшее возможное значение.

Единственность: Прямая, проходящая через две различные точки ($M$ и $N'$), единственна. Эта прямая пересекает прямую $a$ ровно в одной точке, так как $M$ и $N'$ находятся по разные стороны от $a$ (и мы предполагаем общий случай, когда прямая $MN'$ не параллельна $a$, что выполняется, если $M$ и $N$ не находятся на одинаковом расстоянии от $a$ на перпендикуляре к ней). Эта единственная точка пересечения и есть искомая точка $X_0$. Для любой другой точки $X_1$ на прямой $a$ ($X_1 \ne X_0$) точки $M$, $X_1$ и $N'$ образуют треугольник, и для них выполняется строгое неравенство треугольника: $MX_1 + X_1N' > MN'$. Следовательно, $MX_1 + X_1N > MX_0 + X_0N$. Это означает, что любая другая точка на прямой $a$ даст большую сумму расстояний.

Таким образом, доказано, что на прямой $a$ существует единственная точка $X$, для которой сумма расстояний $MX + XN$ имеет наименьшее значение.

Ответ: Искомая точка $X$ существует, она единственна и является точкой пересечения прямой $a$ с отрезком, соединяющим одну из данных точек (например, $M$) с точкой, симметричной другой точке (например, $N'$) относительно прямой $a$. Существование и единственность такой точки пересечения, а также то, что она минимизирует сумму расстояний, следует из свойств осевой симметрии и неравенства треугольника.