Номер 1174, страница 297 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1174, страница 297.

Условие.

1174 Докажите, что два прямоугольника равны, если:

а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого;

б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Докажем, что два прямоугольника равны, если смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого.
Пусть даны два прямоугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По условию, их смежные стороны соответственно равны. Пусть $AB = A_1B_1 = a$ и $BC = B_1C_1 = b$.
По свойству прямоугольника, его противоположные стороны равны, а все углы прямые (равны $90^\circ$).
Для прямоугольника $ABCD$ имеем: $AB = CD = a$, $BC = AD = b$, и $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
Для прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ имеем: $A_1B_1 = C_1D_1 = a$, $B_1C_1 = A_1D_1 = b$, и $\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = \angle D_1 = 90^\circ$.
Два многоугольника называются равными, если у них соответственно равны все стороны и все углы.
Сравнивая два прямоугольника, мы видим, что у них соответственно равны все стороны ($AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $CD=C_1D_1$, $AD=A_1D_1$) и все углы ($\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$, $\angle C=\angle C_1$, $\angle D=\angle D_1$).
Следовательно, прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что два прямоугольника равны, если сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.
Пусть даны два прямоугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По условию, у них равны сторона и диагональ. Пусть сторона $AB = A_1B_1 = a$ и диагональ $AC = A_1C_1 = d$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, образованный сторонами $AB$, $BC$ и диагональю $AC$. Угол $\angle B$ является прямым, так как это угол прямоугольника.
Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle B_1$.
Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Катет $AB$ равен катету $A_1B_1$ (по условию).
2. Гипотенуза $AC$ равна гипотенузе $A_1C_1$ (по условию).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, значит, катет $BC$ равен катету $B_1C_1$.
Таким образом, мы установили, что смежные стороны прямоугольника $ABCD$ ($AB$ и $BC$) соответственно равны смежным сторонам прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ ($A_1B_1$ и $B_1C_1$).
Как было доказано в пункте а), если смежные стороны двух прямоугольников соответственно равны, то такие прямоугольники равны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.