Номер 1181, страница 298 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот - номер 1181, страница 298.

Условие.

1181 Даны две пересекающиеся прямые и точка $O$, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку $O$, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой $O$ пополам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, и точка $O$, не лежащая ни на одной из них. Требуется построить прямую $c$, проходящую через точку $O$, такую, что отрезок этой прямой, заключенный между прямыми $a$ и $b$, делится точкой $O$ пополам.

Анализ

Пусть искомая прямая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. По условию, точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Это означает, что точки $A$ и $B$ центрально-симметричны относительно точки $O$. Иначе говоря, образ точки $A$ при центральной симметрии с центром $O$ есть точка $B$ ($S_O(A) = B$), и наоборот ($S_O(B) = A$). Точка $A$ лежит на прямой $a$. Следовательно, ее образ, точка $B$, должна лежать на образе прямой $a$ при центральной симметрии относительно точки $O$. Обозначим этот образ как $a'$. Таким образом, $B \in a'$. С другой стороны, по условию точка $B$ лежит на прямой $b$. Значит, точка $B$ является точкой пересечения прямых $b$ и $a'$, что и определяет способ построения.

Построение

Построение выполняется в три шага: 1) Строим прямую $a'$, симметричную одной из данных прямых (например, $a$) относительно точки $O$. Для этого можно взять любую точку $P$ на прямой $a$, построить симметричную ей точку $P'$ и через $P'$ провести прямую $a'$ параллельно $a$ (при центральной симметрии прямая отображается на параллельную ей прямую). 2) Находим точку пересечения $B$ построенной прямой $a'$ и второй данной прямой $b$. 3) Проводим прямую через точки $B$ и $O$. Эта прямая и будет искомой.

Доказательство

Пусть построенная прямая $c$ (проходящая через $O$ и $B$) пересекает прямую $a$ в точке $A$. Докажем, что $O$ — середина отрезка $AB$. По построению, точка $B$ лежит на прямой $a'$, которая симметрична прямой $a$ относительно $O$. Это значит, что прообраз точки $B$ при симметрии $S_O$, назовем его $A_1=S_O(B)$, лежит на прямой $a$. По определению центральной симметрии, точки $A_1$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой — это и есть построенная прямая $c$. Таким образом, точка $A_1$ является точкой пересечения прямых $a$ и $c$. Но эта точка по определению есть $A$. Значит, $A_1 = A$. Из $A_1 = S_O(B)$ следует $A = S_O(B)$, что равносильно $B = S_O(A)$. Это доказывает, что $O$ — середина отрезка $AB$. Построение верно.

Ответ: Алгоритм построения: 1. Построить образ $a'$ одной из данных прямых $a$ относительно центра симметрии $O$. 2. Найти точку $B$ пересечения образа $a'$ со второй прямой $b$. 3. Искомая прямая проходит через точку $B$ и центр $O$.