Номер 1185, страница 313 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1185, страница 313.

Условие.

1185 Докажите, что число вершин любой призмы чётно, а число рёбер кратно $3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство, что число вершин любой призмы чётно

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

Пусть в основании призмы лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). У такого многоугольника $n$ вершин.

Призма имеет два основания: нижнее и верхнее. Каждое из них является n-угольником и имеет по $n$ вершин.

Общее число вершин призмы, обозначим его $В$, равно сумме вершин на нижнем и верхнем основаниях. Других вершин у призмы нет.

$В = n + n = 2n$

Поскольку $n$ (число сторон многоугольника в основании) является натуральным числом ($n \ge 3$), то произведение $2n$ всегда будет делиться на 2 без остатка. По определению, такое число является чётным.

Таким образом, число вершин любой призмы является чётным.

Ответ: Число вершин любой призмы вычисляется по формуле $В = 2n$, где $n$ — число сторон многоугольника в основании. Это число всегда чётно.

Доказательство, что число рёбер любой призмы кратно 3

Рассмотрим ту же призму, в основании которой лежит n-угольник.

Рёбра призмы можно разделить на три группы:

1. Рёбра нижнего основания. Поскольку нижнее основание — это n-угольник, у него $n$ рёбер.
2. Рёбра верхнего основания. Верхнее основание также является n-угольником, поэтому у него тоже $n$ рёбер.
3. Боковые рёбра, соединяющие соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Число боковых рёбер равно числу вершин в основании, то есть $n$.

Общее число рёбер призмы, обозначим его $Р$, равно сумме рёбер в этих трёх группах.

$Р = n + n + n = 3n$

Поскольку $n$ является натуральным числом, произведение $3n$ всегда будет делиться на 3 без остатка. По определению, такое число кратно 3.

Таким образом, число рёбер любой призмы кратно 3.

Ответ: Число рёбер любой призмы вычисляется по формуле $Р = 3n$, где $n$ — число сторон многоугольника в основании. Это число всегда кратно 3.