Номер 1191, страница 314 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1191, страница 314.

Условие.

1191 Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $B_1$, $D_1$ и середину ребра $CD$. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Построение сечения

1. Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим точку $M$ как середину ребра $CD$. Заданные точки, через которые проходит плоскость сечения, — это $B_1$, $D_1$ и $M$.

2. Точки $B_1$ и $D_1$ принадлежат плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Соединяем их, получая отрезок $B_1D_1$, который является одной из сторон искомого сечения.

3. Точки $D_1$ и $M$ принадлежат плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Соединяем их, получая отрезок $D_1M$, который является второй стороной сечения.

4. Плоскости оснований параллелепипеда параллельны, то есть $(ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1)$. Согласно свойству, секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Линией пересечения с верхней гранью является прямая $B_1D_1$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью нижнего основания $(ABCD)$ будет проходить через точку $M$ и будет параллельна прямой $B_1D_1$.

5. В параллелепипеде проекцией диагонали $B_1D_1$ верхнего основания на плоскость нижнего основания является диагональ $BD$. При этом $B_1D_1 \parallel BD$. Таким образом, в плоскости $(ABCD)$ нам нужно провести прямую через точку $M$ параллельно диагонали $BD$.

6. Проводим прямую через точку $M$ в плоскости $(ABCD)$ параллельно $BD$. Эта прямая пересекает ребро $BC$ в некоторой точке $K$. Отрезок $MK$ является третьей стороной сечения.

7. Точки $K$ и $B_1$ лежат в одной плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $KB_1$, который является последней, четвертой стороной сечения.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $B_1KMD_1$.

Доказательство, что построенное сечение — трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

По построению, сторона $MK$ нашего сечения параллельна стороне $B_1D_1$. Следовательно, четырехугольник $B_1KMD_1$ является трапецией или параллелограммом. Докажем, что это именно трапеция.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$, лежащий в основании параллелепипеда. Точка $M$ является серединой стороны $CD$ по условию. Отрезок $MK$ был построен параллельно стороне $BD$. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии), если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то она пересечет третью сторону в ее середине. Значит, точка $K$ — середина стороны $BC$.

Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $\triangle BCD$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины основания, которому она параллельна:

$MK = \frac{1}{2}BD$

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, его основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — равные параллелограммы. Отсюда следует, что их соответствующие диагонали равны: $BD = B_1D_1$.

Тогда мы можем записать:

$MK = \frac{1}{2}B_1D_1$

Так как длина диагонали $B_1D_1$ не равна нулю, то $MK \neq B_1D_1$.

Мы получили, что в четырехугольнике $B_1KMD_1$ есть пара параллельных сторон ($MK \parallel B_1D_1$), длины которых не равны. Это означает, что $B_1KMD_1$ не является параллелограммом, а является трапецией. Стороны $MK$ и $B_1D_1$ являются ее основаниями.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Построенное сечение является четырехугольником $B_1KMD_1$, где $K$ — середина ребра $BC$. Этот четырехугольник является трапецией, так как его стороны $MK$ и $B_1D_1$ параллельны по построению ($MK \parallel BD$ и $BD \parallel B_1D_1$), а их длины не равны ($MK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}B_1D_1$).