Номер 1195, страница 315 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1195, страница 315.

Условие.

1195 Тело $R$ состоит из тел $P$ и $Q$, имеющих соответственно объёмы $V_1$ и $V_2$. Выразите объём $V$ тела $R$ через $V_1$ и $V_2$, если:

а) тела $P$ и $Q$ не имеют общих внутренних точек;

б) тела $P$ и $Q$ имеют общую часть, объём которой равен $\frac{1}{3}V_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся принципом включений-исключений для объемов. Если тело $R$ является объединением тел $P$ и $Q$, то его объем $V$ вычисляется по формуле:

$V = V(P) + V(Q) - V(P \cap Q)$

где $V(P)$ и $V(Q)$ — объемы тел $P$ и $Q$ соответственно, а $V(P \cap Q)$ — объем их общей части (пересечения).

По условию, $V(P) = V_1$ и $V(Q) = V_2$.

а) тела P и Q не имеют общих внутренних точек;

Это условие означает, что тела $P$ и $Q$ не перекрываются, то есть объем их пересечения равен нулю. Тела могут соприкасаться границами, но их общая часть имеет нулевой объем.

$V(P \cap Q) = 0$

Подставим известные значения в общую формулу:

$V = V_1 + V_2 - 0$

$V = V_1 + V_2$

Ответ: $V = V_1 + V_2$.

б) тела P и Q имеют общую часть, объём которой равен $\frac{1}{3}V_1$.

В этом случае объем пересечения тел $P$ и $Q$ задан явно:

$V(P \cap Q) = \frac{1}{3}V_1$

Подставим все известные значения в общую формулу для объема объединения:

$V = V_1 + V_2 - \frac{1}{3}V_1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $V_1$, и упростим выражение:

$V = (V_1 - \frac{1}{3}V_1) + V_2 = (1 - \frac{1}{3})V_1 + V_2 = \frac{2}{3}V_1 + V_2$

Ответ: $V = \frac{2}{3}V_1 + V_2$.