Номер 1201, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1201, страница 316.

Условие.

1201 Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней — прямые?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим тетраэдр. Тетраэдр — это многогранник, у которого 4 грани, и каждая грань является треугольником.

В евклидовой геометрии сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Из этого следует, что треугольник может иметь не более одного прямого угла (угла в $90^\circ$). Если предположить, что у треугольника есть два прямых угла, то их сумма уже составит $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. В этом случае третий угол должен быть равен $0^\circ$, что невозможно для невырожденного треугольника, который может быть гранью многогранника.

Поскольку у тетраэдра 4 грани, и каждая из них может содержать максимум один прямой угол, то общее число прямых углов у всех граней тетраэдра не может быть больше четырех.

В условии задачи спрашивается, может ли у тетраэдра быть пять прямых углов граней. Так как число 5 больше максимально возможного числа прямых углов (которое равно 4), то такой тетраэдр существовать не может.

Ответ: нет, не существует.