Номер 1200, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1200, страница 316.

Условие.

1200 Найдите объём правильной $n$-угольной призмы, все рёбра которой равны $a$, если:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 6$;

г) $n = 8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Объём правильной $n$-угольной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

По условию, все рёбра призмы равны $a$. Это означает, что сторона основания равна $a$, а боковые рёбра, равные высоте прямой призмы, также равны $a$. Таким образом, $h = a$.

Общая формула для объёма в данном случае: $V = S_{осн} \cdot a$.

Площадь правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_n = \frac{na^2}{4}\cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

а) При $n=3$ основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$.

Площадь равностороннего треугольника: $S_3 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Высота призмы $h = a$.

Объём призмы: $V_3 = S_3 \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^3$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}a^3$.

б) При $n=4$ основанием является правильный четырёхугольник (квадрат) со стороной $a$.

Площадь квадрата: $S_4 = a^2$.

Высота призмы $h = a$. Такая призма является кубом.

Объём призмы: $V_4 = S_4 \cdot h = a^2 \cdot a = a^3$.

Ответ: $a^3$.

в) При $n=6$ основанием является правильный шестиугольник со стороной $a$.

Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь основания: $S_6 = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Высота призмы $h = a$.

Объём призмы: $V_6 = S_6 \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^3$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^3$.

г) При $n=8$ основанием является правильный восьмиугольник со стороной $a$.

Воспользуемся общей формулой для площади основания: $S_8 = \frac{8a^2}{4}\cot\left(\frac{180^\circ}{8}\right) = 2a^2\cot(22,5^\circ)$.

Для вычисления $\cot(22,5^\circ)$ используем формулу половинного угла $\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Полагая $\alpha = 45^\circ$:

$\cot(22,5^\circ) = \frac{1+\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.

Теперь находим площадь основания: $S_8 = 2a^2(1+\sqrt{2})$.

Высота призмы $h = a$.

Объём призмы: $V_8 = S_8 \cdot h = 2a^2(1+\sqrt{2}) \cdot a = 2(1+\sqrt{2})a^3$.

Ответ: $2(1+\sqrt{2})a^3$.