Номер 1194, страница 315 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1194, страница 315.

Условие.

1194 Ребро куба равно $a$. Найдите диагональ этого куба.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ куба ($d$) — это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Чтобы найти длину диагонали куба, можно дважды применить теорему Пифагора.

1. Сначала найдем диагональ любой грани куба. Грань куба представляет собой квадрат со стороной $a$. Диагональ грани, обозначим её $d_г$, является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — это два ребра куба. По теореме Пифагора:

$d_г^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда $d_г = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю куба ($d$), диагональю грани ($d_г$) и ребром куба ($a$), перпендикулярным этой грани. В этом треугольнике диагональ куба $d$ является гипотенузой. Снова по теореме Пифагора:

$d^2 = d_г^2 + a^2$

Подставим в это уравнение найденное ранее значение для $d_г^2$:

$d^2 = (2a^2) + a^2 = 3a^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем длину диагонали куба:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$