Номер 1189, страница 314 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1189, страница 314.

Условие.

1189 Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью1:

а) $ABC_1$;

б) $ACC_1$.

Докажите, что построенные сечения — параллелограммы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее основание.

a)

Для построения сечения параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $C_1$, сначала соединим точки, лежащие в одних гранях. Соединяем точки $A$ и $B$ (лежат в грани $ABCD$), получаем сторону сечения $AB$. Соединяем точки $B$ и $C_1$ (лежат в грани $BCC_1B_1$), получаем сторону $BC_1$.

Далее, воспользуемся свойством параллельных плоскостей: секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Грани $(ABB_1A_1)$ и $(DCC_1D_1)$ параллельны. Секущая плоскость $(ABC_1)$ уже содержит прямую $AB$, которая лежит в грани $(ABB_1A_1)$. Следовательно, она должна пересечь грань $(DCC_1D_1)$ по прямой, параллельной $AB$ и проходящей через точку $C_1$. В параллелепипеде ребро $D_1C_1$ параллельно ребру $AB$ (так как оба параллельны ребру $A_1B_1$). Значит, искомая прямая — это $D_1C_1$. Таким образом, четвертая вершина сечения — это точка $D_1$. Соединив точки $A$ и $D_1$, получаем искомое сечение — четырехугольник $ABC_1D_1$.

Докажем, что $ABC_1D_1$ является параллелограммом.

По построению, сторона $D_1C_1$ параллельна стороне $AB$. Также, по свойству ребер параллелепипеда, $AB = A_1B_1$ и $D_1C_1 = A_1B_1$, следовательно $AB = D_1C_1$. В четырехугольнике $ABC_1D_1$ противоположные стороны $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник $ABC_1D_1$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение $ABC_1D_1$ — параллелограмм.

б)

Для построения сечения параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $ACC_1$, соединим точки, лежащие в одних гранях. Соединяем точки $A$ и $C$ (лежат в грани $ABCD$), получаем сторону сечения $AC$. Соединяем точки $C$ и $C_1$ (лежат в грани $BCC_1B_1$), получаем сторону $CC_1$.

Плоскость сечения $(ACC_1)$ определяется прямой $CC_1$ и точкой $A$, не лежащей на ней. По определению параллелепипеда, боковое ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$. Так как плоскость проходит через прямую $CC_1$ и точку $A$, а прямая $AA_1$ параллельна $CC_1$ и проходит через точку $A$, то прямая $AA_1$ также лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $A_1$ также принадлежит плоскости сечения. Соединив точки $A_1$ и $C_1$, а также $A$ и $A_1$, получаем искомое сечение — четырехугольник $ACC_1A_1$.

Докажем, что $ACC_1A_1$ является параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. По определению параллелепипеда, его боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, $AA_1 || CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны ($AA_1$ и $CC_1$) параллельны и равны, является параллелограммом по признаку параллелограмма.

Ответ: Сечение $ACC_1A_1$ — параллелограмм.