Номер 1190, страница 314 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1190, страница 314.

Условие.

1190 Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и отметьте точки $M$ и $N$ соответственно на рёбрах $BB_1$ и $CC_1$. Постройте точку пересечения:

а) прямой $MN$ с плоскостью $ABC$;

б) прямой $AM$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Сначала построим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и отметим на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ точки $M$ и $N$ соответственно.

а) Построение точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо найти вспомогательную плоскость, содержащую эту прямую, а затем найти линию пересечения этой вспомогательной плоскости с данной плоскостью. Точка пересечения исходной прямой и найденной линии и будет искомой точкой.

1. Прямая $MN$ лежит в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, так как точки $M$ и $N$ принадлежат ребрам $BB_1$ и $CC_1$ этой грани. Таким образом, $MN \subset (BCC_1)$.

2. Найдем линию пересечения плоскости $(BCC_1)$ и плоскости основания $(ABC)$. Обе эти плоскости проходят через точки $B$ и $C$, следовательно, они пересекаются по прямой $BC$.

3. Искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(BCC_1)$ и $(ABC)$, то есть на прямой $BC$.

4. Поскольку прямые $MN$ и $BC$ лежат в одной плоскости $(BCC_1)$ и не параллельны (в общем случае), они пересекаются. Для построения точки их пересечения, нужно продлить отрезки $MN$ и $BC$ до их пересечения. Обозначим эту точку $P$.

Точка $P$ принадлежит прямой $MN$ по построению. Точка $P$ также принадлежит прямой $BC$, а значит, и плоскости $(ABC)$. Следовательно, $P$ — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямых $MN$ и $BC$. Для ее построения необходимо продлить отрезки $MN$ и $BC$ до их пересечения.

б) Построение точки пересечения прямой $AM$ с плоскостью $A_1B_1C_1$

Действуем по аналогичному алгоритму.

1. Прямая $AM$ лежит в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$, так как точки $A$ (вершина) и $M$ (на ребре $BB_1$) принадлежат этой грани. Таким образом, $AM \subset (ABB_1)$.

2. Найдем линию пересечения плоскости $(ABB_1)$ и плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Обе эти плоскости проходят через точки $A_1$ и $B_1$, следовательно, они пересекаются по прямой $A_1B_1$.

3. Искомая точка пересечения прямой $AM$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, то есть на прямой $A_1B_1$.

4. Прямые $AM$ и $A_1B_1$ лежат в одной плоскости $(ABB_1)$ и не параллельны, значит, они пересекаются. Для построения точки их пересечения, нужно продлить отрезки $AM$ и $A_1B_1$ до их пересечения. Обозначим эту точку $Q$.

Точка $Q$ принадлежит прямой $AM$ по построению. Точка $Q$ также принадлежит прямой $A_1B_1$, а значит, и плоскости $(A_1B_1C_1)$. Следовательно, $Q$ — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямых $AM$ и $A_1B_1$. Для ее построения необходимо продлить отрезки $AM$ и $A_1B_1$ до их пересечения.