Номер 1192, страница 315 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1192, страница 315.

Условие.

1192 Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью $MNK$, где точки $M, N$ и $K$ лежат соответственно на рёбрах:

а) $BB_1, AA_1, AD$;

б) $CC_1, AD, BB_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Для построения сечения параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $MNK$, где точка $M$ лежит на ребре $BB_1$, точка $N$ — на ребре $AA_1$, и точка $K$ — на ребре $AD$, выполним следующие шаги:

1. Соединяем точки, лежащие в одной грани. Точки $N$ и $K$ лежат в плоскости левой грани $AA_1D_1D$, поэтому проводим отрезок $NK$. Точки $N$ и $M$ лежат в плоскости передней грани $AA_1B_1B$, поэтому проводим отрезок $NM$. Эти два отрезка являются сторонами искомого сечения.
2. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем след секущей плоскости $MNK$ на плоскости нижнего основания $ABCD$. Прямая $NM$ лежит в секущей плоскости. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания. Обе прямые лежат в плоскости передней грани $AA_1B_1B$. Продлим отрезки $NM$ и $AB$ до их пересечения в точке $X$. Точка $X$ принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости основания.
3. Точка $K$ также принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, прямая, проходящая через точки $X$ и $K$, является следом (линией пересечения) секущей плоскости с плоскостью основания $ABCD$.
4. Проводим прямую $XK$. Она пересекает ребро $BC$ в некоторой точке $L$. Точка $L$ является четвертой вершиной сечения.
5. Соединяем последовательно полученные вершины сечения, лежащие в одной грани: $K$ и $L$ лежат в грани $ABCD$, соединяем их отрезком $KL$. Точки $L$ и $M$ лежат в грани $BCC_1B_1$, соединяем их отрезком $LM$.
6. В результате получаем замкнутый четырехугольник $NKLM$. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $NKLM$.

б)

Для построения сечения параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $MNK$, где точка $M$ лежит на ребре $CC_1$, точка $N$ — на ребре $AD$, и точка $K$ — на ребре $BB_1$, выполним следующие шаги:

1. Точки $M \in CC_1$ и $K \in BB_1$ лежат в плоскости одной (правой) грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $MK$. Этот отрезок является стороной искомого сечения.
2. Построим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания $ABCD$. Прямая $MK$ лежит в секущей плоскости. Прямая $BC$ лежит в плоскости основания. Обе прямые лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Продлим отрезки $MK$ и $BC$ до их пересечения в точке $X$. Точка $X$ принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости основания.
3. Точка $N$ также лежит в обеих плоскостях. Следовательно, прямая $XN$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.
4. Найдём точки пересечения следа $XN$ с ребрами основания $ABCD$. Одна точка, $N$, уже лежит на ребре $AD$. Пусть прямая $XN$ пересекает ребро $CD$ в точке $L$. Тогда отрезок $NL$ — еще одна сторона сечения, лежащая в плоскости основания.
5. Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $M, N, K, L$. Соединим те из них, что лежат в одной грани. Уже построены $MK$ и $NL$. Точки $L \in CD$ и $M \in CC_1$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$, соединяем их отрезком $LM$.
6. Для завершения построения воспользуемся свойством параллельности граней параллелепипеда. Передняя грань $AA_1B_1B$ параллельна задней грани $DCC_1D_1$. Секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Прямая пересечения с задней гранью — это $LM$. Проведем через точку $K$, лежащую в передней грани, прямую, параллельную $LM$.
7. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в некоторой точке $P$. Точка $P$ — пятая вершина сечения. Отрезок $KP$ — сторона сечения.
8. Соединим новую вершину $P \in AA_1$ с вершиной $N \in AD$. Обе точки лежат в левой грани $AA_1D_1D$. Отрезок $PN$ замыкает многоугольник и является последней стороной сечения.
9. В результате получаем замкнутый пятиугольник $PKMLN$. Этот пятиугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $PKMLN$.