Номер 1199, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1199, страница 316.

Условие.

1199 Найдите объём прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, если $\angle BAC = 120^\circ$, $AB = 5$ см, $AC = 3$ см, а наибольшая из площадей боковых граней равна $35$ см$^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания призмы.

Основанием призмы является треугольник $ABC$. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

По условию, $AB = 5$ см, $AC = 3$ см, $\angle BAC = 120^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin(120^\circ)$

Поскольку $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

2. Найдём высоту призмы.

Так как призма прямая, её боковые грани являются прямоугольниками, а высота $h$ равна длине бокового ребра. Площадь боковой грани равна произведению стороны основания на высоту призмы: $S_{бок.грани} = a \cdot h$.

Наибольшая боковая грань соответствует наибольшей стороне основания. Найдём длину стороны $BC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$, то:

$BC^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$BC = \sqrt{49} = 7$ см.

Сравним стороны основания: $AC=3$ см, $AB=5$ см, $BC=7$ см. Наибольшая сторона — $BC$.

Следовательно, площадь наибольшей боковой грани равна $S_{наиб} = BC \cdot h = 7h$.

По условию, площадь наибольшей боковой грани равна $35$ см$^2$.

$7h = 35$

$h = \frac{35}{7} = 5$ см.

3. Найдём объём призмы.

Теперь, когда известны площадь основания и высота, можем вычислить объём:

$V = S_{ABC} \cdot h = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.

Ответ: Объём призмы равен $\frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.