Номер 1202, страница 316 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Многогранники - номер 1202, страница 316.

Условие.

1202 Изобразите тетраэдр $DABC$ и на рёбрах $DB$, $DC$ и $BC$ отметьте соответственно точки $M$, $N$ и $K$. Постройте точку пересечения:

а) прямой $MN$ и плоскости $ABC$;

б) прямой $KN$ и плоскости $ABD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Сначала построим тетраэдр $DABC$. Затем на рёбрах $DB$, $DC$ и $BC$ отметим соответственно точки $M$, $N$ и $K$, как указано в условии задачи.

а)

Требуется построить точку пересечения прямой $MN$ и плоскости $ABC$. Назовём эту точку $P$.

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью, найдём сначала плоскость, в которой лежит данная прямая.

1. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $DB$ и $DC$ соответственно. Оба этих ребра принадлежат грани $DBC$. Следовательно, вся прямая $MN$ лежит в плоскости грани $(DBC)$.
2. Искомая точка пересечения $P$ должна лежать как на прямой $MN$, так и на плоскости $(ABC)$.
3. Поскольку прямая $MN$ лежит в плоскости $(DBC)$, то точка $P$ также должна лежать в плоскости $(DBC)$.
4. Таким образом, точка $P$ принадлежит обеим плоскостям: $(ABC)$ и $(DBC)$. Это означает, что точка $P$ лежит на линии их пересечения.
5. Плоскости $(ABC)$ и $(DBC)$ пересекаются по прямой $BC$.
6. Мы установили, что точка $P$ лежит на прямой $MN$ и на прямой $BC$. Так как обе эти прямые ($MN$ и $BC$) лежат в одной плоскости $(DBC)$, они пересекаются (в общем случае, если они не параллельны). Точка их пересечения и будет искомой точкой $P$.

Построение:

В плоскости грани $(DBC)$ строим прямые $MN$ и $BC$. Продолжаем их до пересечения. Точка, в которой они пересекутся, и есть искомая точка $P$.

Проверка:

• $P \in MN$ по построению.
• $P \in BC$ по построению. Так как $BC \subset (ABC)$, то $P \in (ABC)$.

Следовательно, $P$ — это точка пересечения прямой $MN$ и плоскости $(ABC)$.

Ответ: Точка пересечения прямой $MN$ и плоскости $ABC$ является точкой пересечения прямых $MN$ и $BC$.

б)

Требуется построить точку пересечения прямой $KN$ и плоскости $ABD$. Назовём эту точку $Q$.

Будем использовать аналогичный метод.

1. Точка $K$ лежит на ребре $BC$, а точка $N$ — на ребре $DC$. Оба этих ребра принадлежат грани $DBC$. Следовательно, вся прямая $KN$ лежит в плоскости грани $(DBC)$.
2. Искомая точка пересечения $Q$ должна лежать как на прямой $KN$, так и на плоскости $(ABD)$.
3. Поскольку прямая $KN$ лежит в плоскости $(DBC)$, то точка $Q$ также должна лежать в плоскости $(DBC)$.
4. Таким образом, точка $Q$ принадлежит обеим плоскостям: $(ABD)$ и $(DBC)$. Это означает, что точка $Q$ лежит на линии их пересечения.
5. Плоскости $(ABD)$ и $(DBC)$ пересекаются по прямой $DB$.
6. Мы установили, что точка $Q$ лежит на прямой $KN$ и на прямой $DB$. Так как обе эти прямые ($KN$ и $DB$) лежат в одной плоскости $(DBC)$, они пересекаются (в общем случае). Точка их пересечения и будет искомой точкой $Q$.

Построение:

В плоскости грани $(DBC)$ строим прямые $KN$ и $DB$. Продолжаем их до пересечения. Точка, в которой они пересекутся, и есть искомая точка $Q$.

Проверка:

• $Q \in KN$ по построению.
• $Q \in DB$ по построению. Так как $DB \subset (ABD)$, то $Q \in (ABD)$.

Следовательно, $Q$ — это точка пересечения прямой $KN$ и плоскости $(ABD)$.

Ответ: Точка пересечения прямой $KN$ и плоскости $ABD$ является точкой пересечения прямых $KN$ и $DB$.